棣美弗定理与Euler公式

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1、棣美弗定理與Euler公式林琦焜『Theshortestpathbetweentwotruthsintherealdomainpassesthroughthecomplexdomain.』—J.Hadamard(1865−1963)—數學裡有許多迷人的公式能夠知道它的來源,瞭解其內涵並有深刻的体會,雖然花點時間但絕對是值得的。引用高斯(KarlFriedrichGauss,1777-1855)的商標,即一幅畫其中有一棵樹,上面只結了七個果實,下面寫著“雖少卻熟透”,所謂“抓一小把而心安理得,遠勝過雙手滿捧卻勞碌捕風”。在三角函數與複數理論中最重要的公式,我個人認為是Eu

2、ler公式iθe=cosθ+isinθ這是Euler在1748年所發表。若θ=π就是πie+1=0Euler(1707-1783)非常喜愛這個公式,並宣稱這是最美麗的數學公式,他熱愛到將這公式刻在皇家科學院的大門上。這式子有1,0分別是乘法,加法這兩個基本運算系統的單位元素,整個數字系統最根本的概念,還有三個運算方法—加、乘與次方。另外還有兩個特別的數:指數e與圓周率π,再加上i這個虛數單位(i顧名思意是取虛數imaginarynumber的第一個字√母,這是Euler第一個提議,但卻是高斯使得代表−1的符號i廣被使用,他將a+ib命名√為複數(complexnumbe

3、r)而稱a2+b2為範數(norm))。i的幾何意義是旋轉,將x軸轉換到y軸。關於這個事實人們有這麼一段笑話:『Youhavereachedanimaginarynumber.Ifyoureguirearealnumber,pleaserotateyourtelephoneby900andtryagain.』您撥的是虛號(虛數),如果您要撥實號(實數)請將您的電話旋轉90度後再重撥。34數學傳播27卷4期民92年12月歷史上第一個給出複數之幾何表示的學者是挪威數學家CasperWessel(1745-1818)之後JeanRobertArgand(1768-1822),

4、J.Warnen和高斯(Gauss)等人也相繼獨立發表了複數的幾何表示。其中以高斯的工作對於後代的數學產生普遍的影響。實際上Euler並不是憑空想像推導出Euler公式,在他之前法國數學家棣美弗(deMoivre,1667-1754)就在1722年提出著名的棣美弗定理(1.1),由棣美弗定理加上極限的概念可推導出Euler公式。除此之外,棣美弗也是機率論的創始者之一,今天我們所說的常態分配(normaldistribution)或高斯分配事實上是棣美弗先發現的,關於其生平讀者可參閱「毛起來說三角」([4])一書。1.棣美弗定理從歷史的發展而言,Euler公式與棣美弗定理

5、n(cosnϕ+isinnϕ)=(cosϕ+isinϕ)(1.1)有直接密切的關係,令ϕ=θ則nnθθcosθ+isinθ=cos+isin(1.2)nn這等式對所有的正整數n都成立,所以可以考慮n→∞的情形,由三角函數之性質θθθθcos≈1,sin≈,n≫1,≈0nnnn可以合理地猜測θθniθniθcosθ+isinθ=limcos+isin=lim1+=e(1.3)n→∞nnn→∞n這就是Euler公式!在這裡我們已悄悄地承認極限lim(1+x)n=ex對於複數x也成n→∞n立。我們從三角公式cos2x+sin2x=1(畢氏定理)開始,因式分解可得2

6、21=cosx+sinx=(cosx+isinx)(cosx−isinx)令右式的兩個函數分別是f(x)=cosx+isinx,g(x)=cosx−isinx(1.4)f,g之關係為∗f(x)g(x)=1,g(x)=f(x)棣美弗定理與Euler公式5則棣美弗定理告訴我們f滿足函數方程nf(x)f(y)=f(x+y),[f(x)]=f(nx)(1.5)但根據我們對於函數的瞭解,具有這個性質的函數就是指數函數(exponentialfunction)所以可以大膽假設f就是指數函數Kxf(x)=cosx+isinx=e(K待求)我們可以驗證看看Kx1Kx2K(x1+x2)K

7、xnK(nx)e·e=e,(e)=e與(1.5)不謀而合,現在決定K是甚麼?f對x微分dfKx=Ke=−sinx+icosx=i(cosx+isinx)dx因此K=i,換言之ixf(x)=cosx+isinx=e(1.6)這正是Euler公式。同理對於函數g(x)也有類似的公式:ng(x)g(y)=g(x+y),[g(x)]=g(nx)(1.7)−ixg(x)=cosx−isinx=e(1.8)將正負兩者合併n(cosx±isinx)=cosnx±isinnx設z=r(cosθ+isinθ)則棣美弗定理的一般式為(n=0,1,2,3,..