理论力学教学材料-11拉格郎日方程

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1、第十一章拉格朗日方程1动力学本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。2动力学§11-1广义力以广义力表示的质点系的平衡条件设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广义坐标q1，q2，...，qk确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径一、广义力Mi的虚位移（固定时间t）：3动力学设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有主动力的元功之和：——对应于广义坐标qj的广义力广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：qj：长度，Qj：力；qj：角度，Qj：

2、力矩；广义力的数目=广义坐标的数目。二、广义力的计算方法1、解析式4动力学xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、...、qk及时间t的函数。2、实际应用时，由由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qj时，仅使对应的广义坐标qj变分dqj，而其余的广义坐标则保持不变。即：令dqj≠0，dqi=0（i=1，2，...n，i≠j），5动力学3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V=V（q1，q2，...，qk）由式（8-7-8）这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系，所有主动力的元功之和：代入解析式得：6动力学可见：在保守系统中，

3、广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。三、以广义力表示的质点系的平衡条件当质点系平衡时，由虚位移原理：由于δqj彼此独立，所以即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。7动力学例1：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：8动力学由此解出θ。9动力学例2：图示系统，A重2P，B重

4、P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f。解：系统具有2自由度。以sA、sB为广义坐标（1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC=δsA/210动力学（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=δsB/2系统平衡时有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P11动力学应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分

5、方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。§11-2　拉格郎日方程一、拉格郎日方程12动力学设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广义坐标q1，q2，...，qk确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径Mi的虚位移（固定时间t）：代入质点系动力学普遍方程：13动力学第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：14动力学为简化上式,需要用到以下两个关系式：①Mi点的速度：由(a)式15动力学由（a）知只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对求偏导：②将（g）对任一广义坐

6、标ql求偏导：将（a）式先对ql求偏导再对t求导：16动力学比较（i）（j）得17动力学将下标l换成j得：将（h）（k）代入（f）得：18动力学于是（e）式为19动力学将（d）（m）代入（c）得：由于δqj彼此独立，所以：这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程，或拉氏方程。20动力学（2）有势力、非有势力都适用（4）不含约束力。如果作用于质点系的力是有势力，则：二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：21动力学由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以上式为：令L=T-V——拉格朗日函数保守系统的拉格朗日方程。22动力学应用拉氏方程解题的步

7、骤：1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力，计算公式为：或若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。23动力学[例3]图示行星齿轮机构位于水平面内。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。已知杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程。所受约束