部分：数理逻辑介绍

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1、第四部分：数理逻辑湖北师范学院数学系·刘云芬“逻辑”浅释中文的“逻辑”显然音译自英文的“logic”。logic又来自古拉丁文的logica，logica又源自希腊文logos（λóγｏｓ）。logos一般翻译为“逻格斯”，接近于中文里的“道”。中文的“道”和希腊文“logos”都有以下两层意思：（1）各种事物的定义或者各种活动的规则（西方各门学科的名字都以-logy缀后的习惯）（2）言说，言谈这两层意思也是相互关联的。言谈是为揭示事物的道理，道理也往往通过言谈得以显示。我们可以构造一个有

2、趣的句子“道道道”，意思是“道说是通往道理的道路”。在言谈和辩论中，渐渐发展出逻辑学这一领域。从地域来分，古代逻辑学可以分为希腊逻辑学（亚里士多德），印度逻辑学（因明学）和中国逻辑学（墨子名学）。在以往，逻辑学是哲学的一个分支。1800中期后，逻辑学也成为数学的一个分支。近代以来，逻辑学成为计算机科学的重要基础。我们这里学习的逻辑学是西方逻辑。湖北师范学院数学系·刘云芬逻辑学的界定：研究思维形式及其规律的学科.思维？认识论角度：感性认识（感觉、知觉）理性认识思维形式：概念、判断（命题）、推理、

3、论证等。思维规律：矛盾律、排中律、同一律，充足理由律。湖北师范学院数学系·刘云芬数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并

4、创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。湖北师范学院数学系·刘云芬逻辑学的分类－马佩《逻辑学原理》逻辑学普通逻辑辨

5、证逻辑是研究思维的内涵，即研究思维内在语义规律，属于哲学范畴。传统逻辑现代逻辑演绎逻辑归纳逻辑数理逻辑（符号逻辑）现代归纳逻辑（概率结合起来）非标准逻辑（语言逻辑）湖北师范学院数学系·刘云芬数理逻辑的内容2个最重要的组成部分：命题演算、谓词演算。命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除

6、”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中

7、的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。湖北师范学院数学系·刘云芬谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，

8、那么命题涵项就成为真的或假的命题了。命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。湖北师范学院数学系·刘云芬数理逻辑的发展数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。比如，非欧几何的建立，促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性，就促进了数理逻辑的发展。集合论的产生是近代数学发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。