数学建模-绪论(经济数学建模(西安交通大学戴雪峰)

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1、数学建模西安交通大学理学院戴雪峰E-mail:daixuefeng@mail.xjtu.edu.cn教学参考书：1．数学建模试验周义仓、赫孝良编西安交大出版社2．数学模型姜启源编高等教育出版社3．经济数学模型洪毅等编华南理工大学出版社数学建模课后作业椅子问题（见教案）存储问题①（见教案）存储问题②(P44页第一题)极值问题(P44页第七、第八题)人口问题（见教案）指派问题（见教案：课本作业P98页1、3）肿瘤的生长规律（见教案：类似人口模型）经济问题（见教案：课本作业P84页1、3）绪论一、从现实对象到数学模型1、原型（Prototype）与模型（Model）原型：在现

2、实世界中我们关心、研究或从事生产管理的实际对象。模型：只为了某个特定的目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构造的原型替代物。模型可分为形象模型可分为:直观模型、物理模型抽象模型可分为:思维模型、符号模型、数学模型。数学模型：对一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据其内在规律（数量依赖关系），做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构（数学表达形式）。理想的数学模型必须具有可靠性和适用性。数学模型没有固定的格式和标准建立数学模型的方法：试验归纳；理论分析。2、建立数学模型的一般步骤建立数学模型的主要步骤：（1）了解问题，明确目的（2）对问题进行简化和假设（3）建

3、立模型（4）对模型进行分析、检验和修正（5）模型的应用用框图表示：问题假设建模分析应用检验、修改符合实际3、数学模型的分类按时间变化对模型的影响：时变与时不变、静态与动态…按变量情况：离散型与连续型、确定性与随机性、…按系统性质：宏观与微观模型按变量了解程度：白箱、灰箱、黑箱模型按数学方法：初等模型、微分方程模型、优化与控制模型…按研究领域：人口模型、经济模型、交通模型、生态模型…按方法和对象的数字特征：逻辑模型、稳定性模型、扩散模型…分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的

4、数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等数学模型可分为：二、数学建模示例例1：“椅子问题”：在日常生活中，有一个很普通的事实，把四条腿的椅子往不平的地面上一放，通常只有三条腿着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四条腿同时着地，放稳了。这个看来与数学无关的现象，能用数学语言给予描述（建立数学模型），并用数学工具证实吗？模型假设：1）椅子四条腿一样长，椅子腿与地面接触可视为一个点，四条腿连线为正方形；2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况，即地面可视为数学

5、上的连续曲面）；3）对于椅子腿之间的距离和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。模型构成：用数学语言把椅子四条腿同时着地的条件和结论表示出来，首先用变量把椅子的位置表示出来。注意到椅脚的连线为正方形，以中心为对称点，正方形绕中心旋转正好代表椅子的位置变化，于是旋转角度这一变量表示椅子的位置（如图）。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。现用一个变量表示椅脚与地面的距离，那末当这个距离为零时就是椅脚着地，椅子在不同位置时，椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数。虽然椅子有四只脚，因而有4个距离，但由于正方形为中心对称，所以只要设两个距

6、离函数即可。记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，所以，、为连续函数，椅子在任何位置至少有三条腿同时着地，所以对中至少有一个为零。当时，不妨设。问题可归纳为如下数学命题：模型：已知、是的连续函数，且则使得。模型求解：（证明方法不唯一）评注：这个模型的巧妙之处就在于用一元变量表示出椅子的位置，用的两个函数表示椅脚与地面的距离。而利用正方形为中心对称和旋转，并不是本质的。请同学们思考：1）若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚的连线呈长方形”，你认为结论成立吗？构造模型并求解。2）若把假设中的"四只脚的连线呈正方形"改为"四只脚共圆"，则结果又如

7、何？下面再举一个建模及分析过程的一个典型例子，说明数学建模的思路。在具体实例的建模过程中会有这样那样的区别，但总体思路不会有太大的偏差。例2：雨中行走问题在雨中行走，一个似乎很简单的事实是，为了减少雨淋的时间你应该在雨中尽快地走，但是如果考虑降雨方向的变化，在全部距离上尽力快跑不一定是最好方案，现试组建数学模型来探讨如何在雨中行走，才能减少雨淋的程度。分析：这一问题的主要因素有：1）降雨的大小，2）降雨的方向，3）路程的远近和跑的快慢。为了简化问题的研究，假设：1）降