边际、弹性分析经济数学建模课件西安交通大学戴雪峰

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1、一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y是另一个经济指标x的函数，那么当自变量有改变量时，对应有函数的改变量.在经济学中，当自变量在x处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x处的边际量.例如当生产量在x单位水平时的边际成本，就是在已生产x单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x的改变量为时，经济变量的改变量为=，则相应于,y的平均变化率是由边际的概念，在上式中取或就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数

2、的导数作为y的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数表示经济变量y的边际量，即认为的经济意义是自变量在x处有单位改变量时所引起函数的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本

3、定义为产量为x时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为它表示产量由x变到x+时，成本函数的平均改变量.当成本函数可导时，根据导数定义，成本函数在x处变化率为在经济上我们认为就是边际成本.因此，边际成本是成本函数关于产量x的一阶导数.，它近似等于产量为x时再生产一个单位产品所需增加的成本，即在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以记，于是成本函数可表示为

4、此时边际成本为由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为时的边际成本和此时已花费的平均成本做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数是可导的，收入函数的变化率是同边际成本道理一样，我们认为就是边际收入.因此，边际收

5、入是收入函数关于产量x的一阶导数.，它近似等于销量为时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即设利润函数为，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即则边际利润是因此，边际利润是利润函数关于产量x的一阶导数，它近似等于销量为x时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例1设某企业的产品成本函数和收入函数分别为和，其中为产量，单位为件，和

6、的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解由边际的定义有（1）边际成本边际收入边际利润（2）当产量为20件时，其收入和利润为（千元）（千元）其边际收入与边际利润为（千元/件）（千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到

7、盈利千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设，当x由10变到11时，y由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是=1，=21，而它们的相对改变量和分别为==这表明，当自变量x由10变到11的相对变动为10%时，函数y的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为解释E的意义：x=10时，当x改变1%时，y平均改变2.1%，我们称为从x=10到x=11时函数的平均相对变化率，也称为平均意义下函数的弹性.这个大小度量了对x变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量

8、变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限存在，则称此极限值为函数在点x0处的点弹性，记为，称为函数在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称为函数在以x0与x0+为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数当自变量x从x0变到x0+时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数在点x0处的相对变化率.例2求指数函数的弹性函数.