数值计算方法21&22

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1、第五章线性方程组的数值解法数值计算基础2.1直接法与三角形方程组求解2.2Gauss消去法第五章线性代数方程组的数值解法2.3Gauss列主元消去法2.4直接三角分解法2.5平方根法2.6追赶法(Thomas法)华长生制作2本章要点线性方程组的解法类型之一:直接解法主要归结为三角形方程组的求解包括一般线性方程组的Gauss消去法、Gauss列主元法、对称正定方程组的平方根法、三对角方程组的追赶法等涉及到一些三角分解：主要有Doolittle分解、Crout分解、Cholesky分解等P68.1.2.4.(2)5.6.9.10.13.(

2、1)14.15.(2)16.(1)本章作业华长生制作3本章应用题：投入产出平衡分析设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门组成,已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如下表所示：表1.国民经济个部门之间的关系华长生制作4表2.投入产出表假定每个部门的产出与投入成正比,则由表1可确定三个部门的投入产出表,如表2.投入系数或消耗系数1)设有n个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立求解个部门总产出的模型2)设投入系数如表2所给,如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这三个部门的总产出分别

3、为多少?华长生制作53)如果三个部门的外部需求分别增加1个单位,他们的总产出分别增加多少?4)如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出,模型就称为可行的,问为使模型可行,投入系数应满足什么条件?华长生制作6第二章解线性方程组的直接法2.1直接法与三角形方程组求解实际问题中的线性方程组分类：按系数矩阵中零元素的个数：稠密线性方程组稀疏线性方程组按未知量的个数：高阶线性方程组低阶线性方程组(如1000)(80%)按系数矩阵的形状对称正定方程组三角形方程组三对角占优方程组华长生制作7一、直接法概述直接法是将原方程组化为一个或

4、若干个三角形方程组的方法，共有若干种．对于线性方程组其中系数矩阵未知量向量常数项------------(1)华长生制作8根据Cramer(克莱姆)法则,若determinantal行列式的记号若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次华长生制作9同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法------------(2)华长生制作10不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法,最都归结为解三角形方程组二、三角形线性方程组的解法若记下三角形线性方程组上三角形线性方程组

5、华长生制作11即回代方向华长生制作12其解为华长生制作13其解为:回代方向华长生制作142.2Gauss消去法一、消元与回代计算对线性方程组对其增广矩阵施行行初等变换:华长生制作15定义行乘数华长生制作16且华长生制作17定义行乘数华长生制作18华长生制作19华长生制作20二、Gauss消去法的运算量计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数乘法次数：除法次数：华长生制作21全部回代过程需作乘除法的总次数为于是Gauss消去法的乘除法运算总的

6、次数为数级华长生制作22Gauss消去法乘除法约为2700次而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为或用行列式定义用行列式性质华长生制作23