奇异积分算子在乘积Triebel-Lizorkin 空间

《奇异积分算子在乘积Triebel-Lizorkin 空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、中国科学A辑:数学2009年第39卷第7期:861∼872www.scichina.commath.scichina.com奇异积分算子在乘积Triebel-Lizorkin空间陈杰诚,王慧∗浙江大学数学系,杭州310027E-mail:jcchen@zju.edu.cn,kerility@163.com收稿日期:2008-08-20;接受日期:2008-12-02*通信作者国家自然科学基金(批准号:10571156,10871173)资助项目摘要本文讨论了一类粗糙的奇异积分算子在乘积Triebel-Lizorkin空间中的有界性,以及分数次积分算子和L

2、ittlewood-Paley函数在此空间的有界性,改进和推广了以前的结果.关键词奇异积分算子Triebel-Lizorkin空间乘积空间MSC(2000)主题分类42B20,42B251引言设SN−1(N=n或者m)是RN(N2)中的单位球面,其上测度为dσ=dσ(·).对于任意非零的z∈RN,我们定义z=z.奇异积分算子T定义为

3、z

4、Ω,αTf(x)=p.v.b(

5、y

6、)Ω(y)

7、y

8、−n−αf(x−y)dy,(1.1)Ω,αRn对于所有f∈S(Rn),其中b∈L∞(R1),α0,Ω∈L1(Sn−1)是零次齐次函数且满足消失性+条件Ω(y

9、)Y(y)dσ(y)=0,(1.2)kSn−1其中Y是次数k[α]的球面调和多项式.2003年,陈杰诚等[1]考虑了T在α>0的kΩ,α情形,证明了下述定理.定理A[1]设1αp,则存在与f无关的常数C>0,使得TΩ,α(f)Lp(Rn)CfL˙p(Rn),(1.3)α其中L˙p是齐次Sobolev空间.α随后,文献[2,3]中都减弱了定理A中Ω的消失性,只需要Ω的消失性满

10、足条件(1.2).在文献[4]中,陈杰诚等进一步研究了算子TΩ,α(α>0)在Triebel-Lizorkin空间的有界性,得到如下结果.引用格式:陈杰诚,王慧.奇异积分算子在乘积Triebel-Lizorkin空间.中国科学A,2009,39(7):861–872ChenJC,WangH.SingularintegraloperatorsonproductTriebel-Lizorkinspaces.SciChinaSerA,2009,52,DOI:10.1007/s11425-009-0077-8陈杰诚等:奇异积分算子在乘积Triebel-Lizor

11、kin空间定理B[4]设10.若Ω∈Hr(Sn−1),r=(n−1)/(n−1+α)且满足消失性条件(1.2),其中Y的次数kN,k4(N+1)>αpq.则存在与f无关的常数C>0,使得TΩ,α(f)F˙pβ,q(Rn)CfF˙pα+β,q(Rn),β∈R,(1.4)其中F˙β,q是齐次Triebel-Lizorkin空间.p比较定理B和文献[2,3]中的结果,我们自然会问:问题1是否定理B中的消失性条件可以减弱?另一方面,奇异积分算子T(α,β0

12、)在乘积空间Rn×Rm上有界性的研究一直都Ω,α,β很活跃.其定义为b(

13、u

14、,

15、v

16、)Ω(u,v)TΩ,α,β(f)(x,y)=p.v.f(x−u,y−v)dudv,(1.5)Rn×Rm

17、u

18、n+α

19、v

20、m+β对于所有f∈S(Rn×Rm),其中b∈L∞(R1×R1),Ω∈L1(Sn−1×Sm−1)且满足++Ω(sx,ty)=Ω(x,y),∀s,t>0,Ω(x,y)xγ1dσ(x)=0,∀

21、γ

22、K,∀y∈Sm−1,(1.6)1Sn−1Ω(x,y)yγ2dσ(y)=0,∀

23、γ

24、J,∀x∈Sn−1,2Sm−1其中γ1,γ2是

25、多重指标,K和J是某个整数.特别地,当α=0(β=0)时,K=0(J=0).我们称b是一个Δ(R1×R1)函数,如果函数b满足2++R2R1112sup

26、b(s,t)

27、dsdt=C1<+∞,R2R20R10R1R2112sup

28、b(s,t)

29、dsdt=C2<+∞.R1R10R20记b=max{C,C}.由定义易知L∞(R1×R1)⊂Δ.当α=β=0时,我们把TΔ12++2Ω,α,β2简记为TΩ.王梦[5]研究了乘积空间上齐次Triebel-Lizorkin空间的定义及性质,并证明若Ω∈L(log+L)2(Sn−1×Sm−1)且满足条件(

30、1.6),则带径向函数b∈Δ的算子T在F˙(αo,βo),qn×2Ωp(RRm