天大《理论力学》学习笔记二

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1、理论力学—学习笔记二主题：《理论力学》学习笔记内容：《理论力学》学习笔记二——力系的简化与力系的平衡方程教学目的、要求:掌握：各类平面力系的简单方法和简化结果；力系的平衡理解：静定和超静定的判断；了解：重心的求法。教学内容：基本内容：力系的简化；力系的平衡；单个物体的平衡问题；静定与超静定结构；重点：力系的简化难点：单个物体的平衡问题。基本要求1.了解物体重心的求法。　2.会解单个物体的平衡问题。3.会对平面力系进行简化第二章力系的简化2-1力系的等效一、力的平移定理定理：作用在刚体上某点A的力F可平行移到任一点B，平移时需附加一个

2、力偶，附加力偶的力偶矩等于力F对平移点B的矩。如图2-1所示。证明：在点B上加一平衡力系（F′，F′′），令F′=−F′′=F。则力F与力系（F′，F′′，F）（图b）等效或与力系[F，(F，F′′)]（图c）等效。后者即为力F向B点平移的结果。附加力偶（F,F’）的力偶矩M=F⋅d=M(F)（2-1）B证毕。图2-1力的平移示意图该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或称一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。理论力学—学习笔记二该定理既是复杂力系简化的理

3、论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。顺便指出，若依次考察图的（c）、（b）、（a），还可得出这样的结论；即同平面内的一个力F′与一个力偶矩为m的力偶，总是可以合成为一个大小和方向与F′力相同的力F，它的作用点A到原力作用线的垂直距离为md=F′二、空间任意力系向一点简化主矢和主矩设刚体上作用一任意空间力系F,F,L,F如图2-2（a）示。任选一点O称为12n力系的简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移，得到作用于O点一汇交力系F′,F′,L,F′和一力偶系M,M,L,M，如图2-2（b）示。这里12n12nF′=

4、FiiM=m(F)ioi（i=1,2,…,n）分别将汇交力系与力偶系合成，即汇交力系的合成的结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点；力偶系合成的结果为一合力偶，其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和。因此，得到作用在简化中心O的力矢R′与力偶矩矢M如图2-2（c）示。o图2-2物体受力图nn⎫R′=∑∑Fi′=Fi⎪I==11i⎪⎬（2-2）nnM=∑M=∑m(F)⎪oioi⎪i=1i=1⎭R′称为该力系的主矢，M称为该力系对简化中心O的主矩。o因此，任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力

5、是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。对于给定的力系，主矢R′是唯一的。由于O点是任选的，所以主矢R′仅决定于力系中各力的大小和方向，而不涉及其作用点(或作用线)，这表明主矢R′是一个自由矢量。理论力学—学习笔记二选定坐标系oxyz，可得主矢R′在三个坐标轴上的投影为R′=ΣF=ΣX⎫xx⎪R′y=ΣFy=ΣY⎬⎪R′=ΣF=ΣZzz⎭（2-3）于是可求得主矢R′的大小为()2()2()2RX′=+ΣΣY+ΣZ（2-4）主矢R′的方向可通过它与三个坐标轴的方向余弦表示()R′xΣX⎫

6、cosR′,i==R′R′⎪⎪R′yΣY⎪cos()R′,j==⎬（2-5）R′R′⎪()Rz′ΣZ⎪cosR′,k==⎪R′R′⎭主矩M随简化中心O的位置不同而变化，所以主矩M是定位矢量，其作用oo点在O点。同样可得主矩M在三个坐标轴上的投影为oM=Σm(F)=Σm(F)⎫oxoxx⎪⎪Moy=Σmo(F)y=Σmy(F)⎬（2-6）⎪Moz=Σmo(F)z=Σmz(F)⎪⎭主矩M的大小为o222M=()Σm(F)+(Σm(F))+(Σm(F))（2-7）oxyz主矩M的方向也可通过它与三个坐标轴的方向余弦表示oMΣm(F)⎫()

7、oxxcosM,i==o⎪MMoo⎪MoyΣmy(F)⎪⎪cos()Mo,j==⎬MMoo⎪MΣm(F)⎪()ozzcosMo,k==⎪MoMo⎪⎭（2-8）2-2力系的简化结果一、空间任意力系的简化结果理论力学—学习笔记二空间任意力系向一点简化，得到主矢R′和主矩M，但这还不是简化的最后o结果，根据不同的情况，还可以进一步简化。1.力系简化为合力偶M当R′=0,M≠0，力偶矢M=M=Σm(F)。oooi2．力系简化为合力（1）当R′≠0,M=0时，力系简化为通过简化中心O的合力R，oR=R′=ΣF。i（2）当R′≠0,M≠0，且R

8、′⊥M时，R′与M可进一步合成为一合力R，oo0R=R′，此时，合力作用线沿R′×M方向偏离简化中心O一段距离oMoOO′=d=，如图2-3示。因此，又可以说主矢确定力系合力的大小和方向，R′再考虑主矩后，才可以确定合力作用线的位置。