山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《3.3.1几何概型》

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1、【课标要求】1．了解几何概型与古典概型的区别．2．理解几何概型的定义及其特点．3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．【核心扫描】1．几何概型的特点及概念．(重点)2．应用几何概型的概率公式求概率．(难点)3．应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程．(易错点)3.3.1几何概型3.3几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(_____或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称_________．概率公式自学导引1．2．长度面积体积几何概型几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示几何概型的概率只与它的长度(

2、面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．几何概型概率的适用情况和计算步骤(1)适用情况：几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．(2)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．③利用概率公式计算．名师点睛1．几何概型的处理方法有关几何概型的计算的首要任务是计算事件A包含的基本事件对应的区域的长度、角度、

3、面积或体积，而这往往很困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概型问题，为此可以参考以下办法：①适当选择观察角度(原则是基本事件无限性、等可能性)；②把基本事件转化为与之对应的区域；③把随机事件A转化为与之对应的区域；④利用概率公式给出计算；⑤如果事件A的对应区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思考．2．题型一与长度有关的几何概型如图A，B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安【例1】装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？[思路探索]在A、B之间每一位置安装路灯C、D

4、都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．规律方法将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于1m的概率为多大？【变式1】一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．[思路探索]海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且在每个位置是

5、等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率．题型二与面积有关的几何概型【例2】解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．规律方法此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．已知

6、x

7、≤2，

8、y

9、≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x

10、－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【变式2】解如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率；题型三与体积、角度有关的几何概型【例3】审题指导解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间的度量关系，再利用相关公式求出其概率．【题后反思】分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少．以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积．在Rt△ABC中，∠A＝30

11、°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使

12、AM

13、＞

14、AC

15、的概率．【变式3】解如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使

16、AM

17、＞

18、AC

19、的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．设事件D为“作射线CM，使

20、AM

21、＞

22、AC

23、”．数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问