2013高中数学奥数培训资料之指数函数 对数函数 密函数

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1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§7指、对数函数,幂函数　　指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。　　一、指数概念与对数概念：　　指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广

2、为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。　　欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b　　其中a叫做对数的底数，N叫做真数。　　ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。　　二、指数运算与对数运算的性质　　1．指数运算性质主要有3条：　　　　ax·ay=ax+y,(ax)y=

3、axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1）　　2．对数运算法则（性质）也有3条：　　（1）loga(MN)=logaM+logaN　　（2）logaM/N=logaM-logaN　　（3）logaMn=nlogaM(n∈R)　　　(a>0,a≠1,M>0,N>0)　　3．指数运算与对数运算的关系：　　　　X=alogax；mlogan=nlogam　　4．负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=1　　5．对数换底公式及其推论：　　　换底

4、公式：logaN=logbN/logba　　　推论1：logamNn=(n/m)logaN　　　推论2：　　三、指数函数与对数函数　　函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：　　（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）　　（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0　　（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。　　（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0

5、象关于y轴对称，y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。　　（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）　　（7）抽象性质：f(x)=ax(a>0,a≠1),　　　　　f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)　　函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：　　（1）定义域为正实数（0，+∞）　　（2）值域为全体实数（-∞，+∞）　　（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。　　（

6、4）单调性是：当a>1时是增函数，当00,a≠1)，　　　　f(x·y)=f(x)+f(y),　　　　f(x/y)=f(x)-f(y)例题讲解1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1

7、001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)2．5log25等于：（）　　（A）1/2（B）(1/5)10log25（C）10log45（D）10log523．计算4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）　　（A）-5（B）-3（C）3（D）随a,b的取值而定6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)　　（1）求反函数y=f-

8、1(x)　　（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数7．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1)　　（1）求f(x)的定义域　　（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；　　（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；　　（4）求它的反函数f-1(x)8．22003的十进制表示是个P位数，52003的十进位表示是个q位数，则p+q=　　　。9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。10．设y=log(1/2)[a2x+2(