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1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§3集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设是一个给定的集合，是某一具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两者必居其一，即∈与仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述
2、法、区间法、语言叙述法。常用数集如：应熟记。3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4．子集、真子集及相等集（1）或＝；（2）且≠；（3）＝且。5．一个阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有－1个非空子集，也有－1个真子集。6．集合的交、并、补运算={且}；={或}且}要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律＝，＝；（2）结合律（）＝（），（）＝()；（3）分配律（）＝（）（）（）＝()（）（4）0—1律＝，＝，＝，＝（5）等幂律＝，＝（6）吸收律()＝，（）＝（
3、7）求补律CIA＝，CIA＝（8）反演律1．有限集合所含元素个数的几个简单性质设表示集合所含元素的个数,（1）,当时，（2）－例题讲解元素与集合的关系1．设＝{
4、＝,}，求证：（1）∈()；（2）2．以某些整数为元素的集合具有下列性质：①中的元素有正数，有负数；②中的元素有奇数,有偶数；③－1；④若，∈,则＋∈试判断实数0和2与集合的关系。3．设为满足下列条件的有理数的集合：①若∈，∈，则+∈，；②对任一个有理数，三个关系∈，－∈，＝0有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等
5、”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。1．设函数，集合，。（1）证明：；（2）当时，求。（3）当只有一个元素时，求证：．5．为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？6．已知集合：问（1）当取何值时，为含有两个元素的集合？（2）当取何值时，为含有三个元素的集合？7．设且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。课后练习1．下列八个
6、关系式:①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数（）（A）4（B）5（C）6（D）72．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是（）（A）CUACUB（B）CUACUB=U（C）ACUB=（D）CUAB=3．已知M=，且，设，则（）（A）M（B）N（C）P（D）4．设集合，则（）（A）（B）（C）（D）5．设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件:当x∈A时,15xA，则A中元素的个数最多是_______________.6．集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)
7、视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.7．若非空集合A={x
8、2a+1≤x≤3a-5}，B={x
9、3≤x≤22},则能使AA∩B成立的a的取值范围是_______________.8．若A={x
10、0≤x2+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a的值为___________________.9．设A={n
11、100≤n≤600,n∈N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.10．己知集合A={x
12、x=f(x)}，B={x
13、x=f(f(x))},其中f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，证明：（
14、1）AB（2）若A只含有一个元素，则A=B.11．集合A={（x,y）},集合B={（x,y）,且0}，又A，求实数m的取值范围.课后练习答案1-4CCBA5．解：由于1995=15´133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数.由于这时己取出了15´9=135,…15´133=1995.故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数,这说明所求数≥1870。另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133）共得133—8=1
