2013高中数学奥数培训资料之高斯函数

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1、兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I－4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8），其中.例题讲

2、解1．求证：其中k为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程6．7．对自然数n及一切自然数x，求证：.8．求出的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使由于n!.这与已知矛盾，故必要性得证.2．解：因对一切k=0,1,…成立，因此，又因为n为固定数，当k适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502,都不会是整数，但+可见此

3、式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x=M是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】由于7．解：M＝

4、f(x)

5、max＝max{

6、f⑴

7、，

8、f(－1)

9、，

10、f(－)

11、}⑴若

12、－

13、≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{

14、f⑴

15、，

16、f(－1)

17、}而f⑴＝1＋a＋bf(－1)＝1－a＋b

18、f⑴

19、＋

20、f(－1)

21、≥

22、f⑴＋

23、f(－1)

24、＝2

25、a

26、≥4则

27、f⑴

28、和

29、f(－1)

30、中至少有一个不小于2∴M≥2＞⑵

31、－

32、＜1M＝max{

33、f⑴

34、，

35、f(－1)

36、，

37、f(－)

38、}＝max{

39、1＋a＋b

40、，

41、1－a＋b

42、，

43、－＋b

44、}＝max{

45、1＋a＋b

46、，

47、1－a＋b

48、，

49、－＋b

50、，

51、－＋b

52、}≥(

53、1＋a＋b

54、＋

55、1－a＋b

56、＋

57、－＋b

58、＋

59、－＋b

60、)≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分.=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.