稳定性与李雅普诺

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1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。一百多年以前(1892年)，俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。在这一历史性著作中，Lyapuno

2、v研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。7/18/2021在此基础上，Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方法就是指L

3、yapunov第二法。7/18/2021第四章稳定性与李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用本章小结和作业7/18/20214.1李雅普诺夫关于稳定性的定义一、系统状态的运动及平衡状态设系统的齐次状态方程为：f：n维向量函数设其在初始条件下，有唯一解那么，实际上描述了系统在n维空间中从初始状态出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。平衡状态：若存在状态向量，对所有t，都有成立，则称为系统的平衡状态。平

4、衡状态不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡状态有：稳定性是相对于平衡点而言的！7/18/2021二、稳定性的几个定义1、Lyapunov意义下的稳定如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足则称平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数与有关，一般也与有关。如果与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。称为欧几里德范数，它的数学意义是：7/18/20217/18/20212、渐进稳定如果平衡状态是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于，则称这种平衡状态是渐进稳定的。即有：7/18/2

5、0217/18/20213、大范围渐进稳定如果平衡状态是渐进稳定的，且渐进稳定的最大范围是整个状态空间，则为大范围渐进稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐进稳定大范围渐进稳定非线性系统：一般较小，小范围渐进稳定。4、不稳定如果对于某个实数和任一实数，不管多么小，由出发的状态轨线，至少有一条轨线越过，则称为不稳定。7/18/20217/18/2021李雅普诺夫意义下的稳定于经典控制理论中稳定性的对比经典控制理论(线性系统)不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0)Lyapunov意义下不

6、稳定稳定渐近稳定7/18/20214.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法基本思路是通过状态方程的解来判别系统的稳定性。线性定常系统：由特征方程的根来判断稳定性。非线性系统：先线性化，再判别。一、线性系统的稳定判据线性定常系统，在平衡状态渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。此为状态稳定性，或称内部稳定性。输出稳定性：如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）7/18/2021输出稳定性判据：线性定常系统输出稳定的充要条件是其传

7、递函数的极点全部位于s平面的左半部。【例4-1】解：（1）由A的特征方程故系统的状态不是渐进稳定的。（2）系统的传递函数：故系统是输出稳定的。系统状态稳定系统输出稳定。系统输出稳定，且能控能观系统状态稳定。7/18/2021二、非线性系统的稳定性系统状态方程：是其平衡状态将其在邻域内展成泰勒级数：取偏差量则：其中，称为雅可比（Jacobian）矩阵高阶导数项7/18/2021在以上近似的基础上，再由A阵来判断非线性系统的稳定性：（1）如果A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态是渐进稳定的。（2）如果A的特征值至少有一个具有正

8、实部，则原非线性系统在平衡状态是不稳定的（3）如果A的特征值至少有一个是0，则系统处于临界状态，原非线性系统的稳定性取决于高阶导数项R（X），无法由A来判别。7/18/2021【例4-2】非线