密码的加密与解密

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1、密码的加密与解密的数学模型密码学的基本概念密码学基本模型发送方接收方Encryption加密Decryption解密加密：c=EK(m)解密：m=DK(c)不安全信道密码分析（Cryptanalysis）Plaintext明文Key解密密匙Key加密密匙Plaintext明文Ciphertext密文明文用M（Message，消息）或P（Plaintext，明文）表示，它可能是比特流、文本文件、位图、数字化的语音流或者数字化的视频图像等。密文用C（Cipher）表示，也是二进制数据，有时和M一样大，有时

2、稍大。通过压缩和加密的结合，C有可能比P小些。加密函数E作用于M得到密文C，用数学公式表示为：E（M）=C。解密函数D作用于C产生M，用数据公式表示为：D（C）=M。先加密后再解密消息，原始的明文将恢复出来，D（E（M））=M必须成立。置换密码Caesar密码ABCDEFGHIGKLMNOPQRSTUVWXYZDEFGHIGKLMNOPQRSTUVWXYZABCCaesarwasagreatsoldier密码本密文Fdhvduzdvdjuhdwvroglhu明文密文CAESAR密码：c=(m+3)Mod2

3、6ABCDEFJHIJK012345678910仿射变换密码上面移位置换密码的一个简单变种就是仿射变换密码，其数学表示为在上面例子移位置换密码下，明文中相邻的字母对应的密文字母也是相邻的，如A和B对应的密文字母分别为D和E,但在仿射变换下，对应的密文字母分别为F((3*0+5)mod26=5=F)和I，它们有3个字母的间隔(a=3)例8.3假设下面是仿射变换加密的，试破译此文FSFPREDLFSHRLERKFXRSKTDMMPRRKFSFUXAFSDHKFSPVMRDSKARLVUURRIFEFKKANE

4、HOFZFUKRESVVS假设此问题由26个英文字母组成，取m=26.由于与26互素，a有12种不同的取法，b有26种不同的取法，所以放射变换有12*26=321种。可采取穷举法来破译。可以用频率法，即密文中出现次数最多的字母与英文中最常见的字母对应。在密文中在平常统计中F：出现12次E：出现频率13.04%R：出现12次T：出现频率13.04%S：出现9次Z：出现频率0.08%K：出现8次GTGAERCSGTKESRE……RKLGUGXDERTMMT利用上述解密公式对密文进行解密得到：这是一串没有意义的

5、字符串，解密失败最后破译文为ANAMERICANSECRETAGENTWILLMEETANAFGHANISTANMOLEINTHECOFFEEBARATTHURSDAYAFTERNOON即ANAMERICANSECRETAGENTWILLMEETANAFGHANISTANMOLEINTHECOFFEEBARATTHURSDAYAFTERNOON破译成功HILL密码Hill2密码中所用的数学手段是矩阵运算。加密过程：1）将英文的26个字母与0到25之间的整数建立一一对应关系，称为字母的表值，然后根据明文字母

6、的表值，将明文信息用数字表示。设明文信息只用26个大写字母表示，通讯双方给出这26个字母的表值如下：ABCDEFGHIJKLM０１23456789101112NOPQRSTUVWXYZ131415161718192021222324252）选择一个二阶可逆整数方阵A，称为Hill2密码的加密矩阵，它是加密体制的“密钥”，是加密的关键，仅通讯双方掌握。3）将明文字母分组。Hill2使用的是二阶矩阵，所以将明文字母每2个一组（可以推广至Hilln密码），若最后仅有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母。这样

7、使得每组都有2个字母，查出每个字母的表值，构成一个二维列向量。4）令，由的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文字母。解密过程：加密过程的逆过程。字母（明文）表值一组数分组向量A左乘向量反查表值密文ＨILL密码的数学模型例：设明文为“MEET求这段明文的Hill2密文。将明文分为：MEET对应密文UUQR设方阵满足命题8.1的条件容易验证对上面例子,det(A)=5,它与26互素，所以满足8.1的条件，故A关于模26的逆为对密文UUQR进行解密得到即明文MEETHill密码的加密与解密过程类似于在n维

8、向量空间中进行线性变换及其逆变换。每个明文向量是一个Zm上的n维向量，乘以加密矩阵并对m取余，仍为Zm上的一个n维向量。由于加密矩阵A为模m的可逆矩阵，所以如果知道了n个线性无关的n维明文向量及其对应的密文向量，就可以求出它的加密矩阵A及其模m的逆矩阵A-1(mod)例子详见P88,例8.5公开密钥系统Hill密码的加密和解密都只需要加密矩阵这个密钥就可以了。这种系统称为单密钥系统。如果加密和解密使用两个不同的密钥，则称为双密