第四章 误差理论与数据处理 一般测量问题中的数据处理方法

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1、第四章一般测量问题中的数据处理方法前面几章已对测量误差的性质及特征规律作了必要的论述，这是正确处理测量数据的基础。研究数据处理的目的就是要恰当地处理测量所得的数据，最大限度地减少测量误差的影响，以便给出一个尽可能精确的结果，并对这一结果的精确程度作出评价。本章主要讨论广泛使用的几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决不同的数据处理问题。这些数据处理方法不仅用于处理已获得的测量数据，更重要的是它们为拟定测量方法提供了基本依据。关于测量结果的精确程度(不确定度)的内容将在第五章和第六章中讨论。4.1算术平均值原理不同测量问题的数据应恰当

2、地使用相应的数据处理方法，以便最大限度地减小测量误差的影响。对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据应按算术平均值原理处理，所得结果才是最可靠的，即测量的随机误差的影响是最小的。一、算术平均值原理若对某个量X进行n次等精度重复测量(各次测量的标准差相同)，得到n个测量数据，则被测量X的最佳估计量应为全部测量数据的算术平均值这就是算术平均值原理，它可由最大似然原理或最小二乘法推出。等精度的多次重复测量结果xi的算术平均值作为被测量X的估计量，具有一致性、无偏性和最优性。(1)一致性设测量数据xi的测量误差为，应有即故式中，为算术平均

3、值的误差若测量误差为服从正态分布的随机误差，则其数学期望为零，即因此，当测量次数足够多时，有即可见，以算术平均值作为X的估计量具有一致性。(2)无偏性由(4-3)式可知，算术平均值的误差是各测量误差的线性和，因而也是正态分布的随机变量，且具有对称性，数学期望为零即因此可见，是X的无偏估计(即的波动中心是X)。(3)最优性可以证明，当测量误差服从正态分布时，算术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界，即式中——测量数据的标准差；——正态分布的概率密度。因此可以说，算术平均值是被测量X的最佳估计量。一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要

4、具有对称性，其数学期望就为零，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理处理等精度重复测量数据可充分利用这一抵偿性，从而使随机误差对最终结果的影响减小到最低限度。因此，也可以说随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。但应指出，算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除随机误差的影响，只不过是减小了这一影响而已。其次，由于系统误差不具有随机抵偿性，按算术平均值原理处理数据—般是没有上述的抵偿效果的，因此算术平均值原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情况下，不能指望通过取算术平均值减小系统

5、误差的影响。因此，算术平均值原理在提高精度的效果上是有限度的。最后应注意，算术平均值原理只适用于对同一量的等精度测量数据的处理。所谓“等精度”是指各次测量的标准差相同，而并非指各测量数据具有相同的误差。事实上，各测量数据的误差并不相同。二、等精度测量数据的残差及其性质通常，被测量的真值是未知的，由测量误差定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测量的真误差对测量的精度作出估计。考虑到算术平均值接近于被测量X，采取与测量误差的定义类似的办法，定义为测量数据xi的残差(剩余误差)。更一般地，残差的定义可推广为式中，为X的估计量，可由包括算

6、术平均值原理在内的某一方法给出。由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则中。由算术平均值给出的等精度测量数据的残差有如下性质：(1)残差的代数和为零，即这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残差有无差错，也用于某些其他运算和检验规则中。(2)残差平方和最小，即测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方和大，这一性质与最小二乘法一致。三、算术平均值的标准差由上述可知，算术平均值仍含有一定的随机误差。为评定这一随机误差的影响，也应使用相应的标准差或不确定度。设对量X进行n次等精度重复测量，得测量数据

7、，将各数据视为独立的随机变量(而不是具体的数值)，则算术平均值的方差为即因为是等精度测量，即，故即而算术平均值的标准差则为式中测量标准差可按下式估计上式就是用残差估计标准差的贝塞尔(Bessel)公式。关于这部分内容将在下一章里详细讨论。由于测量的标准差为估计量s，故公式(4-9)应写为上式表明，算术平均值的标准差为测量数据标准差的。因此，测量次数n越大，所得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就越高。不过，靠增加测量次数n来给出更高精度的结果是有一定限度的。这是因为：(1)算术平均值的标准差与测量次数的平方根成反比。如图4-1所示

8、，随着n的增加，的减小速度下降。当n较大时(如，n>20)，靠进一步增大n来减小，其效果并不明显。(2)测量次数n过大，不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差。(3)当随机误差远远小于系统误差时，进—步增