第五章 有限体积法

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1、第五章有限体积法前面一章我们推求出了在旋转坐标系下的RANS方程组，即ui0xiuup*uujiij2uxxxexxijkjkjijji*2122(ppkr,)32et3kkukuuuk2ktikitcDtxxxxxxlkkkkkiku1uuu12

2、jCikitCtx1ktxxxxx2kjkikjjuiujuiGktxxxjij2cktC0.09,C1.44,C1.92,1.0,1.312k显然，这一组方程在数学上过于复杂，求解其解析解还十分困难。因此，当前对流体流动问题的研究除了采用实验测量、实验模拟观测察的方法外，在计算上主要采取两种措施：一，根据具体问题对方程进行简化，如无粘流、稳态流、不可压缩流等；

3、二，采用数值计算的方法求解方程。然而，即使经过简化，相当多的流动方程依然无法用解析的方法得到理论解。如无粘、无旋、不可压缩流体所满足的拉普拉斯方程2220222xyz是相当简单的偏微分方程，但当求解区域比较复杂时仍无法得到解析解。因此，数值计算方法成了求解流体流动问题的主要方法。5.1求解流体流动问题的常用数值计算方法数值计算是将描述物理现象的偏微分方程在一定的网格系统中离散，用网格节点处的场变量值近似描述微分方程方程中各项所表示的数学关系，按照一定的物理定律或数学原理构造与微分方程相关的离散代

4、数方程组。引入边界条件后求解离散的代数方程组，得到各网格节点处的场变量分布，用这一离散的场变量分布近似代替原微分方程的解析解。目前，求解流体流动的数值计算方法比较多，有有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、特征线法、谱方法、有限分析法和格子类方法等。每一种数值计算方法都有各自的特点和适用范围，其中通用性比较好、应用比较广泛的是前4种。1、有限差分法有限差分法是一种比较古老的算法，有很长的应用历史和众多的研究人员，曾经是求解各种复杂偏微分方程的最主要的数值计算方法。有限差分法用差商代替微商，用计算区域网格节点值构成

5、差商，近似表示微分方程中的各阶导数。例如：n1nnnuuuuuuiii1i,ttxxin,in,（5.1.1a）nnnnuuuui1iii12nnnuu2uuxxxxi1ii122xxxxin,（5.1.1b）式(5.1-1)是用一阶向前差分所表示的一阶导数或二阶导数，类似的可以有一阶向后差分，或中央差分等，当然也可以用二阶差分（三点差分）来表示差商。将表示场变量一阶导数和二阶导数的差商近似式代入微分方程，就可以得到关于

6、各网格点处的差分方程。求解这一组代数方程，可得各节点处的场变量数值解。有限差分法形式简单，对任意复杂的偏微分方程都可以写出其对应的差分方程。但有限差分方程的获得只是用差商代替微分方程中的微商（导数），而微分方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律（守恒定律）在微分方程中并无体现。因此差分方程只能认为是对微分方程的数学近似，基本没有反映其物理特征。差分方程的结果有可能表现出某些不合理现象。2、有限元法有限元法是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。它最初用于固体力学问题的数值计算，如杆系结构，梁系结构，板、壳、体

7、结构的受力和变形问题。20世纪70年代，在英国科学家ZienkiewiczO.C.等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场、电磁场，也包括流场。有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛函变分原理推导或加权余量法推导。直接刚度法是直接从问题的物理定律、物理公司中得到有限元离散方程。它只适用于比较简单的问题，如梁单元受力变形的有限元离散方程。虚功原理一般只适用于推导弹性力学中物体受力和变形问题的计算过程。变分原理是将微分方程求解问题转换为某泛函求极值问题，再对泛函的表达式进行一定的运算得到

8、有限元离散方程。它可以被用于各类场问题有限元离散方程的推导，但是首先要找到与所求解问题的微分方程对应的泛函。这不是一件容易的事情。在许多情况下所要求解的微分方程没有对应的泛函，例如前述流体流动和传热的控制方程组就没有对应的泛函，因此变分原理推导法不能应用。这时一般采用加权余量法推导。加权余量法的思想很简单，设某些物理问题的控制微分