高二数学分类计数原理与分步计数原理

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1、分类计数原理与分步计数原理问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？关于分类计数原理的几点注记：⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．分类计数原理完成一件事，有ｎ类办法，在

2、第1类办法中有　种不同的方法，在第2类办法中有　　种不同的方法……在第ｎ类办法中有　　种不同的方法．那么完成这件事共有N＝　　　　　　　　种不同的方法（加法原理）问题2从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？所有走法火车1－汽车1火车1－汽车2火车2－汽车1火车2－汽车2火车3－汽车1火车3－汽车2分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有　　种不同的方法，做第2步有　　种不同的方法……做

3、第ｎ步有　　种不同的方法．那么完成这件事共有N＝　　　　　　　　　　　种不同的方法．（乘法原理）关于分步计数原理的几点注记⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互

4、独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例1：书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取一本体育书，有2

5、种方法．根据分类计数原理，不同取法的种数是N=m1+m2+m3=4+3+2=9．答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.例2：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成四位数字号码的个数是N=10×10×10×10=10000．答：可以组成10000个四位数字号码．例3：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚

6、班，有多少种不同的选法？6中选法可以表示如下：日班　　　　晚班甲　　　　　　乙甲　　　　　　丙乙　　　　　　甲乙　　　　　　丙丙　　　　　　甲丙　　　　　　乙例4：4张卡片的正、反面分别0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可以组成多少个不同的三位数？练习：1．（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？2．有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有多少种？3．设集合A＝｛1

7、，2，3，4｝，B＝｛5，6，7｝，则从A到B的所有不同映射的个数是：A.81B.64C.12D.274．集合M＝｛1，2，3，4｝的子集个数是：A.6B.8C．12D.16