均值与方差、正态分布

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1、均值与方差一、离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的均值或数学期望············离散型随机变量均值是离散型随机变量以概率为权的加权平均。它反映了离散型随机变量取值的平均水平离散型随机变量均值是刻画某一总体的量,它的均值就是总体的均值,一般是未知的,但是确定的常数性质1、均值的线性组合性质注:常数的均值为其本身3、若ξ~B(n，p)，则Eξ=np4、求均值的一般步骤：1）求出分布列；2）利用定义求均值二、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：·········

2、···则称为随机变量X的方差称为随机变量X的标准差注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果DX值越小,则表示X的取值越集中若干结论：类型1：离散型随机变量的期望与方差例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球(ξ表示所取球的标号).（1）求ξ的分布列，期望与方差；（2）若η=aξ+b，Eη=1,Dη=11，试求a,b的值。Eξ=1.5Dξ=2.75a=b=2或a=-2,b=4练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：ξ012Pp

3、则Eξ的最大值为，Dξ的最大值为。1注：公式的直接应用，注意p的范围。类型2：离散型随机变量的期望与方差应用例2、A、B代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜率A队队员负率A1和B12/31/3A2和B22/53/5A3和B32/53/5现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η（1）求ξ,η的概率分布；（2）求Eξ，Eη类型3：二项分布的期望与方差例3、某大厦一部电梯从底层出发后只

4、能在第18层、19层、20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且这5位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1/3，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望与方差。Eξ=5/3例4、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到的白球的次数。（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。P(ξ=k)=P(A1

5、…AkAk+1)=q.pk例5．(浙江卷)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1/3，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,最多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次摸到红球都停止摸球。求随机变量ξ的分布列及数学期望.(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是0.4，求p的值．类型4：走近高考