Ch2.2矩阵的运算

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1、第二章矩阵§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3几种特殊结构的矩阵§2.4方阵的逆矩阵§2.5分块矩阵§2.6矩阵的初等变换与初等矩阵§2.7矩阵的秩同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，定义为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才例如能进行加法运算.2、矩阵加法的运算规律1、定义二、数与矩阵的乘法2、数乘矩阵的运算规律：矩阵相加与数乘矩

2、阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）定义设矩阵矩阵A与B的乘积是一个矩阵其中记作C=AB.按此定义，一个矩阵与一个矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数：注①三、矩阵的乘法这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij就是A的第i行与B的第j列的乘积.只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.②例１设例2故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且(规定)注意矩阵不满足

3、交换律，即：例设则若Ak=O，一般情况下也不一定有A=O;若AB=O，一般情况下也不一定有A=O或B=O。但也有例外，比如设则有例举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0(2)若A2A则A0或AE(3)若AXAY且A0则XY例解得所以例用矩阵乘法表示线性方程组.设非齐次线性方程组为对应的齐次线性方程组为则方程组（2.1）可以表示为矩阵形式例定义把矩阵的行换成同序数的列得矩阵，称为A的转置矩阵(transpose),记作AT或A’.到一个四、矩阵的转置转置矩阵的运算性质

4、例5已知解法1解法2定义由n阶矩阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为矩阵A的行列式.记作或detA.n阶矩阵的行列式具有以下性质：由(3)可知，五、n阶矩阵的行列式(A、B为n阶矩阵，k为数)例设为三阶矩阵，若已知

5、A

6、=-2，求。解例设，矩阵A=。计算，其中E为三阶单位阵，n为正整数。提示：例设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AAT=E，。求。提示：例设A是n阶实矩阵。证明：如果AAT=O，则A=O。提示：利用矩阵运算例设三阶矩阵，其中均为三维行向量，已知，求。答案：思考题成立的充要条件是什么

7、?思考题解答答故成立的充要条件为