线性代数应用案例解析

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1、本文档相关内容参见视频10-12浅议线性代数中的数学文化游宏引言提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因为数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很难说清这一概念的确切定义。首先，文化的定义就不下二百种，比较流行的看法是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应包含物资财富），但数学是什么？尽管在座的都是数学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定义是矛盾的。比如，英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。但法国的E.波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门

2、科学。上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理，是从不同的角度看数学得出的结论。在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学、科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文献[1]。既然人们对“文化”、“数学”的定义与认识不统一，当然对数学文化的理解更是“仁者见仁、智者见智”，但这并不影响我们今天将数学文化作为大学生素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意义的工作）。事实上，我们遇到的许多概念都没有十分精确的定义，即使是数学概念。比如，点是数学（几

3、何学）中最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的：点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可以理解点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学，乃至数学。虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识，但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共识。一般讲，数学文化应包含：数学自身、数学教育、数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺艺术、数学美学及数学的社会效应等。近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学文化的书籍、论文纷纷问世。大多数数学文化的书籍都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到的数学文化的各个方面。大多数著作共

4、同的写作特点是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐美就举黄金分割，0.618的例子；对称美举二项式定理或“群”，等等。也有些文章和书籍以数学故事，名人轶事感染读者。无疑，这些著作在普及与推广数学文化，使更多的人认识数学，启蒙中学生和大学生的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的作用。特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如[2]，减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一条新路。随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学数学教学中，应将

5、数学文化教育与数学专业教育结合起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益处。在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师的自身素质和教学热情都将有较高的要求。开设数学文化专门课程和在数学教学中加强数学文化教育是数学文化教育的两个方面。前者，宏观特性强一些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自然科学的关

6、系，数学在人类社会中的意义等；后者，微观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上相辅相成，都不可欠缺。为什么要谈线性代数中的数学文化现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数（行列式、矩阵）为例，这可能是受到M。Kline的“古今数学思想”的影响[3]，在“古今数学思想”卷三中Kline有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作

7、紧凑的表达式，尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是数学器具的一部分。这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的思想时较少涉及线性代数，但在谈及数学文化的结构说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见﹝1﹞）。的确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响不如一元多