近代量子力学疑难问题

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1、《近代量子力学疑难问题》专题讲座张永德中国科学技术大学近代物理系1[第二讲]无限深方阱中粒子动量波函数的争论2目录一，Pauli和Landau的矛盾——“量子力学的数学是错的”？！二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型2）两种基态动量波函数表达式三，矛盾分析与结论四，设想实验的佐证五，问题的根源[附录]3一，Pauli和Landau的矛盾——“量子力学的数学是错的”？！最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了不同的结果。

2、此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不小的争论，并还导致严重误解：“中国数学家挑战物理学量子力学逻辑自相矛盾”——“文汇报”1997年12月10日，头版重要通讯报导。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。45二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型相应的一维Schrödinger方程，Schrödinger方程应当定义在整个x轴上。分为三个区域：第I、III区V(x)=+∞。边界条件ψ(x)＝0(

3、x

4、≥a)；求解坐标波函数只需对第II区进行。有时这种边界条件被简单

5、地写为ψ(x)＝0(

6、x

7、=a)。这时对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处[7]：坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！6阱中粒子能级和波函数为将正弦波函数ψn(x)用复指数表示，并近似配以exp(-iEnt/h)仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的deBroglie行波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近似的！因为这两个行波仅仅存在于有限区间[-a,a]内，有限长度光波波列不会是严格单色波（[5]，也见[4]）。72）两种基态动量波函数表达式

8、坐标波函数边界条件设定的分歧Landau和Pauli等人给出了不同结果。由此引发了混乱。Pauli等人求解[1、2]。求解基态粒子的动量波函数φ1(p)时，直接采用前面n=1基态两个“单色波”的两个“动量”。表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运动的）单色deBroglie波叠加而成的驻波。8L.D.Landau等人做法[3、5]：将上面定义在全实轴上的基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数φ1(p)：代入ψ1(x)表达式，注意阱外ψ1(x)为零，即得阱中粒子动量概率是连续分布两种结果很不同！那个

9、正确？！两个都对？两个都错？按几年来文献讨论情况，4种观点全有表述，分歧明显、争论热烈[6]。9三，矛盾分析与结论[7]按QM基本原理，波函数、动量算符及Schrödinger方程都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限空间的）势阱内。事实上，正确的边界条件应当是ψ(x)＝0(

10、x

11、≥a)；而不是ψ(x)＝0(

12、x

13、=a)。如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符可以“只”定义在势阱

14、x

15、

16、乱和麻烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标波函数是定域解；但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。10问题的关键是：不象坐标波函数是定域的，动量波函数是非定域的！即阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说，它还取决于对阱外坐标波函数的处理——坐标波函数边界条件的正确拟定。11Pauli错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推广为“周期零点”边界条件，

17、得到了坐标波函数的周期解。Pauli解正是此周期解的动量分布——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。可证（见后面附录）：当比值很大（或n很大）向经典趋近时，Landau解将逐渐演变为Pauli解。这充分说明Pauli解是对大阱宽、高激发态时的近似解。显然，指数上的量±πnh/2a也不是严格的物理动量（特别当a或n较小时）。12四，设想实验的佐证一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为z轴，板上沿y方向开一条无限长的缝，沿x轴的缝宽为2a。电子束由板的下

18、方入射。分离掉电子在y和z方向的自由运动，单就电子在x方向运动而言，便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向的偏转，偏转大小将和