经典高考数学试题

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1、数学例题例1.设是两个实数，集合，集合，集合是平面内点的集合,讨论是否存在使得（1），（2）两个条件同时成立.【解】为直线在时点的集合，为抛物线在时点的集合。，即存在及整数使成立，其几何意义是点在直线上，又的几何意义是点在圆内或边界上，因此要使(1),(2)同时成立，即要求点既在直线上又在圆的内部或边界上，所以，圆心到直线的距离，即，∴，∴，这与为整数矛盾，因此这样的实数不存在.例2.设，求证：.【解】不妨构造一个等腰直角三角形，，在上取一点，记，则，利用，可得，在时等号成立.例3.在中，已知，且，求

2、.【解】在中，在上取一点使，则，设，则有，在中，所以，第8页共8页数学例题例1.已知，求证：为定值.【解】构造三点，则由重心坐标公式可得的重心坐标为，即的重心坐标为.又在圆心为原点的单位圆上，所以的重心与外心重合，故是正三角形.不妨设的顺序是逆时针方向，则，于是例2.已知，求证：【解】设椭圆，则在椭圆上，又也满足椭圆的方程，可知也在椭圆上，过点的切线方程为，即，又满足，所以点也在切线上，由过椭圆上一点的切线唯一知，重合，于是，所以.（设椭圆的标准方程为，切点为，则……（1），对椭圆求导得，即切线斜率，

3、故切线方程为,以(1)代入并化简得切线方程为）例3.若关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围.【解】原方程可化为，故要使方程有解，在的值域范围内即可.∵∴.当时取等号,故原方程有唯一解；而当时，每一个值对应两个值（若满足，则第8页共8页数学例题必满足）。故当时，原方程有两解.例1.解方程.【解】令，得，原方程转化为，即，亦即.∴,此时，经检验是原方程的根.例2.实数满足求的值.【解】由，可得；由，可得.设，则在上单调递增.又，于是，故例3.求函数的值域.【解】由得，，问题转化为求的取值范围，使关于的

4、方程在上有实根.设，由二次函数的图像可知：或，解得.例4.已知两点，若抛物线与线段有两个交点，求实数的取值范围.【解】问题等价于方程组有两组解，即在上有两解.设，则有，∴例5.已知方程有唯一实根，求实数的取值范围.第8页共8页数学例题【解】由得（1）当，即时，，满足，∴满足条件.（2）当，即时，,又，故要满足题意，必须，或，解得.∴所求的取值范围为.例2.已知函数的值域为，求的值.【解】设，则，根据求值域的判别式法.当时，由，得由题意知方程有两解，由韦达定理，解得当时，对应的，故不满足条件，所以例3.

5、求同时满足下列条件的所有复数：（1）是实数，且；（2）的实部和虚部都是整数.【解】设，则，故，∴.由的实部是整数，知只能在2,4,6中取，但同时使为整数的值只能取2,6，故同时满足条件的复数是.例4.求方程的正根的个数.【解】如果通过解出方程的根再判断正根的个数，那么要解一元三次方程，这很困难。可转化为求函数与函数图像在轴右侧的交点个数，问题就迎刃而解了。通过画草图可知，函数图像开口向下，过三、四象限，而函数的图像位于一、三象限，结合图像可知两函数图像在轴右侧没有交点。所以方程的正根的个数为0个。例5

6、.若一元二次方程的两个正根满足，求实数的取值范围.第8页共8页数学例题【解】由韦达定理得，即∵，∴，即.∴当时，有最小值；当时，有最小值.故求实数的取值范围是例2.设不等式对满足的一切实数均成立，求实数的取值范围.【解】原问题等价于在时恒成立。因此有，解得，因此，使得原不等式在时恒成立的的取值范围是例3.一条河宽1km，两岸各有城镇和，和的直线距离为4km，今需铺设一条电缆连接与，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，问应如何架设电缆方可使总的修建费最少？（假设两岸为平行

7、的直线）【解】过点作与成30°的射线，过作于，过作于，交于。则总修建费用，.例4.已知关于的不等式的解集是，求的值.【解】不等式可化为∵不等式的解集是，∴是关于的方程的解，且，解得.例5.已知函数，设，证明：【解】∵，令，则由，得.又，∴，即第8页共8页数学例题又设则由，得∴，∴∴即故原不等式成立.例1.设在高校篮球联赛中，某高校男子篮球队要从8名队员中选出平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如下表所示：队员号码身高/m擅长位置11.92中锋21.90中锋31.88前锋41.86前锋5

8、1.85前锋61.83后卫71.80后卫81.78后卫同时要求出场阵容必须满足下列条件：①中锋只能上场1名；②至少有1名后卫；③如果1号队员和4号队员上场，则6号队员不能上场；④2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场。试确定该篮球队符合要求的出场阵容?【解】设则满足以下约束条件：(1)中锋只能上场1名;(2)至少有1名后卫;(3)如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场;(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场;又因为篮球比赛要求每队上场队