空间曲线的切线与弧长

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1、复习:平面曲线的切线与法线切线方程法线方程已知平面光滑曲线在点有5-5空间曲线的切线与弧长空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：例方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.空间曲线的参数方程曲线的向量表示空间曲线是指区间到空间的一个连续映射的像.若在有连续的导数,且对于每一点不同时为零,则称曲线是光滑曲线.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限曲线方程为参

2、数方程的情况切线方程即在处的切线方程是此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程例.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故曲线的参数方程曲线的弧长则弧微分弧长如：例2任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个,例如及都表示同一空间直线轴.故我们可用不同的方法选择其中二个曲面,使其交线是给定的曲线.空间曲线的一般方程*投影曲线与投影柱面设空间曲线C:消去变量后得到方程这是一个母线平行于轴的柱面,称之为投影柱面它显然通过空间

3、曲线C称为C在面上的投影(曲线)同理,消去(1)中的或,可得曲线C在或平面上的投影或投影曲线投影柱面空间曲线补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面例求在面上的投影曲线.解:先求C投影到面的投影柱面,即只要从二方程消去二式相减,得将它代入原方程组的第一式(或第二式)即得投影柱面方程于是,所求C在面上的投影曲线的方程是在面上的投影曲线分别是.圆柱螺旋线例.