数学：2.3《数学归纳法》课件新

《数学：2.3《数学归纳法》课件新》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学归纳法问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：思考2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？（1）推倒第一块骨牌；（2）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.多米诺骨牌课

2、件演示如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下----------递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下----------奠基；思考3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；（2）子随父姓.（第1代姓王）（如果第k代姓T，则第k+1代也姓T）思考4：已知数列{an}满足:（n∈N*），那么该数列的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还需

3、增加什么条件？由第k项可推出第k＋1项.给出第1项；（1）（2）思考5：上述证明方法叫做数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，其证明步骤如何？（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.证明：1、当n=1时,左=12=1，右=∴

4、n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立例1、用数学归纳法证明：练习：用数学归纳法证明证明：(1)n=1时，左边=那么,(2)假设n=k（k∈N*)时等式成立，即右边=等式成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。这就是说当时等式成立，所以时等式成立.思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：证明：假设时，等式成

5、立，就是那么思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.=右边,左边思考3：下列证法对吗？用数学归纳法证（n∈N+):1+2+3+…+2n=n(2n+1)证明：1)左边=1=……2)假设n=k时等式成立,即:1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=

6、……那么，n=k+1时，1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)=……那么，n=k+1时，证明：1)左边=1+2=3=右边2)假设n=k时等式成立,即:(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k

7、命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.例2已知数列：试猜想其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.小结作业1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；（2）假设时结论正确，

8、证明时结论也正确．递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.练习1:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应