《经济数学基础》网上教学二

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1、《经济数学基础》网上教学二班级：财08、物流08学习时间：2008年6月21日——7月5日课时：6课时学习要求：1．通过学习，对不定积分、定积分、积分应用等内容进行归纳、概括和总结，巩固学过的知识，使知识系统化、条理化。2．熟练掌握不定积分、定积分的计算方法。学习重点：1．原函数和不定积分的概念。2．不定积分的计算方法。3．定积分的计算方法。一、不定积分1．理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。（2）原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）。（3）什么是不定积分？原函数的全体

2、（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。例1在某区间上，如果F（x）是f（x）的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（）。A.B.C.D.8解如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）＋c都是f（x）的原函数，故有，即正确的选项是C。例2如果，则f（x）=（）A.2sin2xB.－2cos2xC.－2sin2xD.2cos2x解根据不定积分的性质可知f（x）=正确的选项是D。例3设是函数的一个原函数，则＝（）。A．B.C.D.解因为是函数的一个原函数，即有=，故＝=故正确的选项C。例4设的一个原函数是，则（）。A.B.C.D.解因为的一个原函数是，故（＝故正确的选项B

3、。2.熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：　　①幂函数与指数函数相乘；8　　②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正（余）弦函数相乘；例5．（）。A．B.C.D.解两种方法，其一是凑微分直接计算：其二是求导计算：四个备选答案中都含有项，对它求导与被积函数比较可知，是的原函数。正确的选项是B。例6计算下列积分（1）（2）（3）解（1）使用直接积分法==（2）使用凑微分换元法==（3）使用分部积分法8=xcos(1-x)-=xcos(1-x)+sin(1

4、-x)+c二、定积分1．了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：　　若是奇函数，则有若是偶函数，则有例1若是的一个原函数，则下列等式成立的是()．A．B．C．D．解由牛顿¾¾莱布尼兹公式可知，正确的选项是B。例2已知，那么常数a=（）。解因为故，即正确的选项是A。例3。解因为是奇函数，故0应该填写：02.熟练掌握定积分的计算方法。8常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换

5、上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）．（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分：　　①幂函数与指数函数相乘；　　②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正（余）弦函数相乘.例4计算下列定积分（1）（2）（3）（4）设函数，计算定分解（1）使用凑微分换元法：利用=，可知＝＝（2）用分部积分法＝=（3）用分部积分法=-==（4）分段函数要分区间积分，故83．知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。例5广义积分=。解因为=应该填写：例6下列无穷积分中收敛的是（）．A．B．C．D．解因为=发散；==1所以正确的选项是B。三、积分应用1．掌握用定积分求简单平

6、面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般步骤：(1)画出所围平面图形的草图；(2)求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3)利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分。y=x2y=4xx=1yxo例1求曲线与直线及所围成平面图形的面积。解首先画出所围区域面积的草图。曲线的交点是（0，0），（1，1），（1，4）。所求面积为8另外,如果要求曲线与直线及所围成平面图形的面积。则曲线的交点是（1，1），（1，4），（4，16），所求面积为＝92．熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例2生产某产品的边际成本为(万元/百台)

7、，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解（1）边际利润令，得（百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。（2）利润的变化即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。例3已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为=8当x=0时，C(0)