详解15章整式整式的乘除与因式分解

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1、第十五章整式的乘除与因式分解15.1整式的乘法15.1.1同底数幂的乘法知能新视窗知识结构同底数幂的乘法法则逆用同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则推广学点博览学点1同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．理解要点：（1）法则理解①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)2与(-3)5,(ab3)2与(ab3）5,(x-y)2与(x-y)3等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加．（2）法则逆用与推扩①同底数幂

2、的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．即am+n=am·an(m、n都是正整数)如：25=23·22=2·24等．②同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．am·an·ap=am+n+p(m、n…p都是正整数)，am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n…p都是正整数)．（3）应用法则注意的事项：①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·23≠32+3；②不要忽视指数为1的因数，如:a·a5≠a0+5．③底数是和差或其它形式的幂相乘

3、，应把它们看作一个整体．名师开小灶金考点考点1同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好．[例1]计算：（1）-a·(-a)3（2）-a3·(-a)2（3）(a-b)2·(a-b)3（4）(a-b)2·(b-a)3[点拨]根据幂的符号法则，把幂的底数统一．[解答](1)-a·(-a)3=(-a)4=a4(2)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a3+2=-a5(3)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)2+3=(a-b)5(4)(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)5[方法规律]在am·

4、an=am+n中，a可以代表任意的有理数，单项式、多项式，解这类题目往往要用到幂的符号法则使底数一致。常见的变形如：(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)等．考点2：同底数幂的乘法法则的推广三个或三个以上同底数幂相乘，法则一样适合．[例2]计算：（1）x2·(-x)3·(-x)4(2)xn·xn+1·xn-1·x(3)(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+224(4)(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)[点拨]在底数相差符号时，可先利用指数的奇偶性将底数化为相

5、同，再用同底数幂的乘法法则．[解答]（1）x2·(-x)3·(-x)4=x2·(-x3)·x4=-x2+3+4=-x9（2）xn·xn+1·xn-1·x=x3n+1（3）(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+2=(x+2y)2+(m-1)+(m+2)=(x-2y)2m+3（4）(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)=(y-x)4·(y-x)5·(y-x)2·[-(y-x)]=-(y-x)4+5+2+1=-(y-x)12[方法规律]（1）如果是三个或三个以上的同底数幂相乘仍然适合法则，即am·an·…·ap=a

6、m+n+……+p(m、n…p都是正整数)．考点3同底数幂的乘法法则的逆用巧妙地逆用同底数幂的乘法法则，可创性地解看似无从着手的题目，从而培养逆向思维能力．[例3]已知am=2,an=3(m、n为正整数)，求am+n的值．[点拨]逆用同底数幂的乘法法则，可将am+n变为am·an．[解答]∵am=2,an=3,∴am+n=am·an=2×3=6[方法规律]灵活变形、逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m、n都是正整数)考点4混合运算混合运算主要考查综合解决问题的能力，此类综合题要找准方法，注意运算顺序．[例4]计算（1）（-3

7、）100+（-3）99+（-3）54·（-345）．（2）x3·xm-xm+3+(-x3)·(-x)2[点拨]混合运算，应先算乘法，后算加减，注意同底数幂的乘法法则与合并同类项的区别，有时逆用同底数幂的乘法法则可简化运算．[解答]（1）（-3）100+（-3）99+（-3）54·（-345）=（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）54·（-3）45=（-3）（-3）99+（-3）99+（-3）99=（-1）（-3）99=399（2）x3·xm-xm+3+(-x3)(-x)2=x3+m-xm+3+(-x)3(-x)2=0+(-x)5

8、=-x5[注意的问题]1．在混合运算中，要注意法则的正用和逆用。尤其对逆向变形应加以重视．2．n为偶数时，（-a）n=an,n为奇数时，（-a）n=-an经常需要运用这一特性简化运算．金钥匙能力拓展[例1]