《1.3.2函数的极值与导数》课件2

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1、1.3.2函数的极值与导数问题引航1.函数极值点、极值的定义是什么？函数取得极值的必要条件是什么？2.求可导函数极值的步骤有哪些？1.极小值点与极小值(1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_____，f′(a)=0.(2)符号：在点x=a附近的左侧f′(x)<0，右侧_________.(3)结论：点a叫做函数y=f(x)的极小值点，_____叫做函数y=f(x)的极小值.都小f′(x)>0f(a)2.极大值点与极大值(1)特征：函数y=f(x)在

2、点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_____，f′(b)=0.(2)符号：在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧_________.(3)结论：点b叫做函数y=f(x)的极大值点，_____叫做函数y=f(x)的极大值.3.极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为_______.(2)极大值与极小值统称为_____.都大f′(x)<0f(b)极值点极值4.可导函数在某点取得极值的必要条件可导函数y=f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件是_________.5.求函数y

3、=f(x)的极值的方法解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时，(1)如果在x0附近的左侧_________，右侧_________，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧_________，右侧_________，那么f(x0)是极小值.f′(x)=0f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>01.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()(3)函数f(x)=

4、有极值.()【解析】(1)正确.f′(x)=3x2+2ax-1，其Δ=(2a)2-4×3×(-1)=4a2+12>0，所以f′(x)=0有两个不等实根，故f(x)必有两个极值.故正确.(2)正确.在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切线与x轴平行或重合.(3)错误.在定义域内f′(x)=-≠0，由极值的判断方法可知函数无极值.答案：(1)√(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函

5、数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为__________.(2)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是________.(3)已知函数f(x)=x2-2lnx，则f(x)的极小值是_______.【解析】(1)根据导函数的图象，若左侧的导数值大于零，右侧的导数值小于零，那么此点就是极大值点.因而有2个极大值点.答案：2(2)由题意知f′(x)=3ax2+1=0有两个不同的实数根，所以a<0.答案：a<0(3)因为f(x)=x2-2lnx，所以f′(x)=2x-=(x>0)，所以

6、x∈(0，1)时，f′(x)<0；x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)的极小值是f(1)=1.答案：1【要点探究】知识点函数的极值点和极值1.对极值概念的两点说明(1)端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)单调无极值：若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.2.极值点与导数为零的关系(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即

7、“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分不必要条件.(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点.3.极值点的分布规律(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的

8、极大值点与极小值点是交替出现的.4.函数在极值点附近切线斜率的变化规律从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.【知识拓展】极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点.(3)导数为0是极值点的情况：f(x)=x2，f′(0)=0，x=0是极值点.(4)导数为0但不是极值点的情况：f(x)=x3，f′(0)