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1、高阶马尔科夫链的张量模型黎稳华南师范大学数学科学学院广州，510631JointworkwithProf.MichaelNgandLBCui提纲引言关于张量模型平稳分布存在与唯一性求解张量模型平稳分布的迭代法平稳分布的扰动分析数值例子一、引言：Markov链的研究有非常悠久的历史，在建模以及分析实系统时，Markov链的应用非常广泛，例如对制造系统，随机自动化网络（SAMs），排队系统，生物信息工程，数据序列、网页排序以及其他和计算有关的应用和网络决策分析等等,Markov链模型能作出很好的预测和优化计划等作用。在某些应用研究
2、中，例如在生物信息学中，不同基因之间的相互作用构成了复杂的细胞活动。对作用于细胞、组织和器官的基因共同性研究在生物信息学中是一个重要的课题。代替独立看待单细胞，全局的或历史性的观点在理解细胞作用和控制大量正常功能运作的机制中显得越来越重要。通过概率布尔网络(PBN)建立基因调控网络模型，利用实际的数据推断网络结构和参数。这有助于我们理解基因网络和理解网络中不同的基因的作用。然后提出基因干预的治疗或基因控制策略。然而，网络的规模随基因数量的增长而呈指数阶增长。一个PBN可以建立有关Markov模型，进而利用该Markov链模型分
3、析该网络;在信用危机模型中的应用中，信用等级在信用危机分析和建模中非常重要。以往建立信用等级和他们之间的转移的常规的方法就是Markov链模型及其概率转移矩阵。当今人们面临的问题越来越复杂，复杂的事物通常可以用高维数据来刻画。最近，高阶非负张量用于建立高阶Markov链模型，这给研究Markov链带来新的具有挑战性的课题。因此，对Markov过程及其应用的研究至今仍然是数学及许多领域的研究热点，其研究在生物、医学、计算机科学、数据分析和数学等各方面都要重要的理论和实践意义。1、Markov链模型给定一个Markov链过程x(t
4、)，设它在离散的时间段t=1,2,3,...内在状态空间S={1,2,...,m}内取值，的概率只和有关。一个Markov过程是由它的概率转移矩阵刻画的，其中，(1)这时，P是列和为1的非负矩阵。对某些数据序列进行分析时，一阶Markov模型不能满足进一步的分析要求，因为在时刻t的概率与它前面的n个时刻有关，即需要求如下概率:Raftery于1985年给出了估计方法：2、高阶非负张量模型对高阶Markov模型的分析也可以利用高阶非负张量的有关理论，所谓m阶n维非负张量指张量有非常重要的应用.这里，我们比较感兴趣的是与高阶Mar
5、kov链有关的非负张量的谱理论，张和祁给出张量谱理论的很好的综述。张量的H-特征值和特征向量定义为：其中而Z-特征值和特征向量定义:(seeChangandZhang,manuscript,2012).文[Ng,Qi,Zhou,SIMAX,2009]指出，对某些数据系列建立高阶Markov模型时通常可以计算如下高阶转移概率：（5）在模型（2）和（4）中，的值分别由某些的线性组合近似得到。由非负张量的关于H-特征值的Perron-Frobenius定理知道[N-Q-Z，09]可以直接利用非负张量（5）来计算有关概率分布向量。对计
6、算高阶张量的在时刻t概率分布[Qi，2012]等给出了如下模型:（6）其中，P满足（5），且则平稳概率分布向量可以通过如下模型得到：（7）其中对模型（7）我们有如下需要解决的问题：（a）模型（7）的解向量，即平稳分布x是存在吗？唯一吗？如果不唯一，什么情况下唯一？（b）保证唯一性条件下，如何给出（7）平稳概率分布向量的求解算法？（c）如何给出（7）的敏感性（扰动）分析？二、关于模型（7）平稳分布存在唯一性1、存在性：文[Li,Ng,2011]定理2.2(p.21)给出了对不可约非负张量，方程（7）的存在性证明，即:2、唯一性：
7、文[Li,Ng,2011]给出了如果概率转移张量P没有任何限制，（7）的解不是唯一的（p.24Remark1）。对方程（7）文[Li,Ng,2011]首次给出了唯一性的充分条件（见Theorems2.3and2.4,p.22--35），即注记1定理2.3与2.4所给出的条件不是必要的（seeRemark5p.35）；注记2对m=3，n=2，文[ChangandZhang]和[Hu,Qi,2011]分别给出方程（7）的解是唯一的，另外他们也给出了唯一性的另外一些充分条件。注记3实际上，（7）为张量的Z_1特征值问题。Changa
8、ndZhang给出了Z_1和Z_2特征值问题的关系。问题：1、非负概率转移张量的不可约性是否是（7）有唯一平稳分布的条件？2、能否给出有唯一解的充分必要条件？3、模型（6）的概率分布有极限的充分必要条件是什么？注：问题1对一般非负矩阵来说是对的，许多数值例子也表明问题的答案是
