第12讲 拉普拉斯变换及性质

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1、§5.1引言1为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围.•优点在于：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍；•缺点在于：物理概念不如傅氏变换那样清楚。2•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义。但也有不足之处：①傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；ftdt②另外在求时域响应时

2、运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。1jt1f(t)FedFf(t)23本章内容及学习方法本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。4§5.2拉普拉斯变换5主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换6一．从傅里叶变换到拉

3、普拉斯变换1．拉普拉斯正变换t信号f(t),乘以衰减因子e(为任意实数)后容易满足绝对可积条件,依傅氏变换定义:ttjtF1Fft()ef()teedt()jtft()edtF()j令:js,具有频率的量纲,称为复频率。st则Fsftedt72．拉氏逆变换stFsftedttfte是Fj的傅里叶逆变换：1tjtfteFjed2两边同乘以e

4、t1jtftFjed2其中:js;若取常数，则dsjdj积分限：对::对sj1jstftFseds2jj83．拉氏变换对stFsLftftedt正变换1j1stftLftFseds逆变换2jj记作:ftFsft称为原函数，Fs称为象函数。jt考虑到实际信号都是有起因信号：Fftedt0采用0系统,相应

5、的单边拉氏变换为stFsLftftedt01j1stftLftFseds2jj9二．拉氏变换的收敛域（重在单边~）收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；limf(t)et0j0t收敛轴收敛区收敛坐标O010例题及说明t1.满足lim()fte00的信号成为指数衰减信号；t2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；n

6、t3.limte00ttt4.limee0t2t5.e等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。11三．一些常用函数的拉氏变换1.指数函数stttste1Leeedt0s0s2.阶跃函数11ststLut()1edte0s0s3.单位冲激信号stLtted1t全s域平面收敛0

7、stst0Lttttedte000124．tnu(t)nnst1Lttedttestestdt0s00ntstnetn1estdt111s0sts0e2ss0snn1sttedtn2s022212nLtLtnn123LtLtsssssn3n1332632stLtLtLttedt34ssss01stnn!tdeLtn1

8、s0s13§5.3拉普拉斯变换的基本性质14主要内容线性原函数微分原函数积分延时（时域平移）s域平移尺度变换初值终值卷积对s域微分对s域积分15一．线性若Lf(t)F(s),Lf(t)F(s),K,K为常数，112212则LKf(t)Kf(t)