利用辅助线在基本平面立体表面求点的投影

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1、3.1平面立体的投影教学目的：1.熟练掌握棱柱、棱锥、棱台等平面立体的投影特点及画法。能根据它们的两个投影画出第三投影。2.熟练运用积聚性和辅助线法在基本平面体的表面上取点，并能判别其可见性。教学重点：1.掌握棱柱、棱锥、棱台等平面立体的投影。2.利用积聚性和辅助直线法在基本平面体表面求点的投影。教学难点：利用辅助线在基本平面立体表面求点的投影。3.1平面立体的投影立体包含基本体和组合体。柱、锥、圆球、圆环等几何体是组成机件的基本形体，简称基本体。基本体组合后的立体称组合体。当立体带有切口、切槽等结构时，又称切割体

2、。切割体和相贯体（两相交的立体）均是组合体。如图3-1所示是由基本体组成的机件。本章着重研究基本体、切割体及相贯体的形体特色和三视图的画法。图3-1由基本体组成的形体表面由平面所围成的实体，称为平面立体。平面立体上两相邻平面的交线称为棱线。平面立体分棱柱和棱锥两种。由于平面立体表面是平面，画平面立体的三视图，可归结为画出各平面间的交线（棱线）和各顶点的投影。然后判别可见性，将可见的棱线投影画成粗实线，不可见的棱线投影画成细虚线。3.1平面立体的投影为了便于画图和看图，在绘制平面立体的三视图时，应尽可能地将它的一些棱

3、面或棱线放置于与投影面平行或垂直的位置。3.1.1棱柱常见的棱柱为直棱柱，它的顶面和底面是两个全等且互相平行的多边形，称为特征面，各侧面为矩形，侧棱垂直于底面。顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。1.棱柱的投影如图3-2（a）所示，正六棱柱的顶面和底面为正六边形的水平面，前后两个矩形侧面为正平面，其他侧面为矩形的铅垂面。如图3-2（b）所示，水平投影的正六边形线框是六棱柱顶面和底面的重合投影，因为此投影反映六棱柱特征面的实形，故称为特征视图。六边形的边和顶点是六个侧面和六条侧棱的积聚投影。正面投影的三个矩形线

4、框是六棱柱六个侧面的投影，中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，反映真实性。左、右两矩形线框为其余四个侧面的重合投影，是类似形。而正面投影中上下两条图线是顶面和底面的积聚投影，另外四条图线是六条侧棱的投影。2.棱柱表面上点的投影由于直棱柱的表面都处于特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可利用平面3.1平面立体的投影投影的积聚性来作图。在判别可见性时，若平面处于可见位置，则该面上点的同面投影也是可见的;反之，为不可见。在平面积聚投影上的点的投影，可以不必判别其可见性。如图3-2（b）所示，已知六棱柱ABCD侧面上点M的

5、V面投影m′，求该点的H面投影m和W面投影m″。由于点M所属棱柱面ABCD为铅垂面，因此点M的H面投影m，必在该侧面在H面上的积聚性投影abcd上。再根据m′和m求出W面投影，由于ABCD面的W面投影为可见，故m″也为可见。图3-2正六棱柱的投影3.1平面立体的投影3.1.2棱锥棱锥的底面为多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形。从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。1.棱锥的投影如图3-3（a）所示为一个正三棱锥的三面投影直观图。该三棱锥的底面为等边三角形

6、，三个侧面为全等的等腰三角形，图中将其放置成底面平行于H面，并有一个侧面垂直于W面。如图3-3（b）为该三棱锥的投影图。由于锥底面△ABC为水平面，所以，它的H面投影△abc反映了底面的实形，V面和W面分别积聚成平行X轴和Y轴的直线段a′b′c′和a″（c″）b″。锥体的后侧面△SAC为侧垂面，它的W面投影积聚为一段斜线s″a″（c″），它的V面和H面投影为类似形△s′a′c′和△sac，前者为不可见，后者为可见。左、右两个侧面为一般位置平面，在三个投影面上的投影均是类似形。画棱锥投影时，一般先画底面的各个投影，然

7、后定锥顶S的各个投影，同时将它与底面各顶点的同名投影连接起来，即可完成。3.1平面立体的投影2.棱锥表面上点的投影凡属于特殊位置表面上的点，可利用投影的积聚性直接求得其投影;而属于一般位置表面上的点可通过在该面上作辅助线的方法求得其投影。如图3-3（b）所示，已知棱面△SAB上点M的V面投影m′和棱面△SAC上点N的H面投影n，求作M、N两点的其余投影。由于点N所在棱面△SAC为侧垂面，可借助该平面在W面上的积聚投影求得n″，再由n和n″求得（n′）。由于点N所属棱面△SAC的V面投影不可见，所以（n′）为不可见。

8、点M所在平面△SAB为一般位置平面，如图3-3（a）所示，过锥顶S和点M引一直线SI，作出SI的有关投影，根据点在直线上的从属性质求得点的相应投影。具体作图时，过m′引s′1′，由s′1′求作H面投影s1，再由m′引投影连线交于s1上点m，最后由m和m′求得m″。另一种作法是过点M引MII线平行于AB，也可求得点M的m和m″，具体作法如图3-3所示。由于点M