Chapter 4 第二代小波—提升格式

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1、Chapter4第二代小波—提升格式参考文献：1.W.Sweldens“TheLiftingScheme:ACustom_designConstructionofBiorthorgonalWavelets”2.I.Daubichies﹠W.Sweldens“FactoringWaveletTransformintoLiftingSteps”.3.W.Swedens“TheLiftingScheme:ANewPhilosophyinBiorthogonalWaveletsConstruction”.

2、Fromhttp://cm.bell_labs.com/who/wim/papers/Waveletsarebuildingblocksthatcanquicklydecorrelatedata.Fourier变换在小波变换中起着决定作用，小波本质上到底是什么？能否不用Fourier变换而直接研究小波变换，由此形成三点共识：1.小波首先是一个构造块；可以是一组基，也可以是框架2.能够解相关性，使数据间的相关性减弱。；3.小波变换拥有快速算法。小波变换分三步走：—原始信号（离散）1．Split：，（

3、）1．Prediction:预测算子P的构造最终取决于原来的数据模型，不依赖数据；2．Update：更新算子还可以对在进行小波变换，分割、预测、更新……若P、U为非线性算子，则得到的为非线性小波变换。逆小波变换（InverseWaveletTransform）：（1）（求）（2）（求）（3）Joint：第二代小波变换的优点：1．小波分析可以不再建立在Fourier变换分析基础上；2．引入新的小波变换，如非线性小波变换，自适应小波变换等，有限区间上的小波变换，曲线、曲面上的小波、加权小波；3．逆变换

4、简单；4．与Mallat算法相比，计算速度快，存储小。把数据分成两部分的小波：Lazywavelet：简单例子：（1）分割：（2）预测：………（1）（3）更新：……（2）为保证反映数据的整体性质，要求：将（2）代入：将（1）代入：此变换与，的双正交小波变换一致。…splitP1U1P2U2PkUk…第一代小波的提升问题令则双正交小波存在的四个条件方程可用矩阵表示。定义：称为双正交函数，如果，称为有限双正交滤波器，如果且，，，有限，则：；在1992Vetterli&Herley“Waveletand

5、FilterBank:TheoryandDesign”IEEETrans:Assp.40(9)2207-2232引理：对固定具有紧支集的尺度函数，与之对应，考虑两个有限对偶滤波器，，两者构成及双正交滤波器，则必有：，其中为三角多项式。提升引理：设是一初始双正交滤波器，则构成新的双正交滤波器，其中为任意三角多项式。对偶提升引理：设是一初始双正交滤波器，则构成新的双正交滤波器，其中为任意三角多项式。推论：给定初始双正交函数，则：使得构成新的正交函数。证明：（Sketch）,,由提升引理由：作逆Four

6、ier变换：由于：作逆Fourier变换提升后的Mallat算法：原始分解：；原始重构：；分解过程：I计算未提升系数;II提升后的系数;重构过程：I退后到未提升状态II用重构系数重构对偶提升下的Mallat算法：2.对偶提升小波分解：更新预测2CjS1T1S2T22