2019届九年级数学上册菱形的性质与判定（第3课时）菱形的性质与判定的综合练习北师大版

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1、1.1.3　菱形的性质与判定的综合1．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别是4和2，则它的面积为____．2．如图，将菱形ABCD沿AC方向平移至A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，A′B′交BC于点F，判断四边形A′FCE是不是菱形，并说明理由．3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝，AC＝4，BD＝2.(1)求证：AC⊥BD．(2)求证：平行四边形ABCD是菱形．(3)求四边形ABCD的面积．4．[2017·东丽区一模]如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为

2、3和4，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是____．5．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D，E，F分别在AB，AC，BC上，且AD＝AE，DC为EF的中垂线，求证：BF＝2AD．　　6．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连接BE，EF，FB．(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；(2)求EF的最大值与最小值．　　参考答案【分层作业】1．42．解：四边形A′FCE是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝C

3、D，AD∥BC，AB∥CD，∠DAC＝∠DCA．∵菱形ABCD沿AC方向平移至A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，DC∥D′C′，∴∠DAC＝∠D′A′C，A′E∥BC，CE∥A′B′，∴四边形A′FCE是平行四边形，∠D′A′C＝∠DCA，∴EA′＝EC，∴四边形A′FCE是菱形．3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝1.∴AO2＋BO2＝AB2，∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD．(2)证明：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形．(3)

4、S四边形ABCD＝AC·BD＝×4×2＝4.4．　答图【解析】连接CF，如答图，∴BD∥CF，∴S△FDB＝S△CDB＝S菱形ABCD＝.5．　　,答图)证明：连接DE，DF，设DC与EF相交于点O，设AD＝x，则AE＝x.∵AD＝AE，∠A＝90°，∴DE＝x.∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠AED＝(180°－∠A)＝∠ACB，∴DE∥FC，∴∠DEO＝∠CFO.又∵EO＝OF，∠EOD＝∠FOC，∴△EOD≌△FOC(ASA)，∴OD＝OC．又∵OE＝OF，EF⊥DC，∴四边形DECF是菱形，∴EC＝DE＝

5、x，∴AC＝x＋x.∴BC＝AC＝(x＋x)＝x＋2x，∴BF＝BC－FC＝2x，∴BF＝2AD．6．解：(1)BE＝BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD，△CBD都是边长为4的正三角形．∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE.又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，∴△BDE≌△BCF(SAS)，∴BE＝BF.(2)∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC，∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF，∴∠EBF＝∠DBC＝60°.又∵BE＝BF，∴△BEF是

6、正三角形，∴EF＝BE＝BF.当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4；当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为2，∴EF的最大值为4，最小值为2.