2018_2019学年高中数学第三章推理与证明章末复习学案北师大版

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1、第三章推理与证明章末复习学习目标　1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.理解演绎推理.4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明．1．归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提

2、——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．综合法和分析法(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法．4．反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等.类型一　合情推理例1　(1)观察下列等式：－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；……照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.考点　归纳

3、推理的应用题点　归纳推理在数对(组)中的应用答案　n(n＋1)解析　第一个等式中1＝，2＝；第二个等式中，2＝，3＝；第三个等式中，3＝，4＝.由此可推得第n个等式等于××＝n(n＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝________.考点　类此推理的应用题点　平面几何与立体几何之间的类比答案　··解析　题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条

4、边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为＝··.反思与感悟　(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．跟踪训练1　(1)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，

5、然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，……，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．考点　归纳推理的应用题点　归纳推理在图形中的应用答案　8　π解析　第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90°，因此弧长为；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90°，因此弧长为π；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90°，

6、因此弧长为，……，第n道弧所在圆的半径为n，圆心角为90°，因此弧长为.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以为首项，为公差的等差数列，故所求这n道弧的弧长之和为n＋·＝.(2)设P是△ABC内一点，△ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有＋＋＝1，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有______________________

7、__．考点　类比推理的应用题点　平面几何与立体几何之间的类比答案　＋＋＋＝1解析　易知＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，故＋＋＋＝＝1.类型二　综合法与分析法例2　试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤.考点　分析法和综合法的综合应用题点　分析法和综合法的综合应用证明　分析法要证2sin2α≤成立，只需证4sinαcosα≤，∵α∈(0，π)，∴sinα>0，只需证4cosα≤，∵1－cosα>0，∴4cosα(1－cosα)≤1，可变形为4cos2α－4cosα＋1≥0，只需证(2cosα－1)2≥0

8、，显然成立．综合法∵＋4(1－cosα)≥4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号，∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα>0，∴4sinαcosα≤，∴2sin2α≤.反思与感悟　分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是