正整数指数函数的运算性质

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1、第三章指数函数和对数函数理解教材新知§1正整数指数函数把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：问题1：计算32·33的值．提示：32·33＝35＝243.问题2：计算(23)2和(22)3的值．提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.问题3：计算35÷32的值．提示：35÷32＝33＝27.若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质：(1)am·an＝；(2)(am)n＝＝；(3)(a·b)n＝；am＋nam·n(an)man

2、·bnam－n1一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？提示：1＋20%＝1.2(倍)．问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的函数关系式是什么？提示：y＝a×1.2x.函数(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.y＝ax1．正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意(ab)n与anam等的含义，才能正确地运算．2．正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别．虽

3、都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)这种形式的函数才是正整数指数函数．1．下列各式运算错误的是()A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.答案：C2．计算：(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．解：原式＝[2×

4、(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5＝4a6b－1.[一点通]正整数指数函数的图像特点：(1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．答案：C[例3](12分)某林区2011年木材蓄积200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)

5、求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？[思路点拨]根据增长率为5%，可分别列出经过1年、2年的木材蓄积量，然后列出y＝f(x)的表达式，第(2)问可根据正整数指数函数的图像来求．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像见下图，x0123…y200210220.5231.5…(8分)作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万m3时)所经过的时间x年的值,因为8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地

6、，取过剩近似值)．即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.(12分)[一点通]1.人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，α为变化率，x为自变量，x∈N＋，y为x年变化后的函数值；2.作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当a>0，α>0时，y＝a(1＋α)x是增函数．5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2007年某地区农民人

7、均收入为3150元(其中工资收入为1800元，其他收入为1350元)，预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民人均收入介于()A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元解析：设自2008年起的第n年农民的工资收入为y＝1800×(1＋6%)n.其他收入为y2＝1350＋160n，则第n年的收入y＝y1＋y2＝1800×(1＋6%)n＋1350＋160n，所以2012年农民人均收入

8、为1800×(1＋6%)5＋1350＋160×5≈4558.8(元)．答案：B6．已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并