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1、第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换.2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=
2、 (α为任意角); (2)cos2α=cos2α- = -1=1- (α为任意角); (3)tan2α= (α≠ +kπ,且α≠+ ,k∈Z). 问题2:半角的正弦、余弦、正切公式sin= ;cos= ; tan= = = . 问题3:如何根据倍角公式导出半角公式?单角和倍角是相对的,α是的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到cos2=,sin2=,把这个式子开方得cos=±,sin=±,再根据同
3、角三角函数关系可得tan=±,符号由所在象限决定.对正切的半角公式又有tan====,这组公式称为半角公式.问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?71.sincos的值为( ).A. B. C. D.2.等于( ).A.-cos1B.cos1C.cos1-sin1D.sin1-cos13.= . 4.请回答《创设情境》中的问题.直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值将下列三角函数式进行化简或求值:(1)8sincoscoscos;(2)-;(3)(sin+cos)(sin-cos)
4、;二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用已知sinα+cosα=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,).(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.7已知角的某种三角函数值求值或角已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ,且α,β∈(-,),则tan的值是 . 将下列三角函数式进行化简或求值:(1);(2)(0<θ<π).已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[,
5、]上的最小值和最大值.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.1.已知sin2α=,则cos2(α+)=( ).A. B. C. D.2.若△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA的值为( ).A. B.- C. D.-3.化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos2θ= . 4.函数f(x)=cos2x+sinx,求f(x)在区间[-,]上的最小值.7(2012年·四川卷)已知函数f(x)=cos2-sincos-.(1
6、)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=,求sin2α的值. 考题变式(我来改编): 7答案第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切知识体系梳理问题1:(1)2sinαcosα (2)sin2α 2cos2α 2sin2α (3) 问题2:± ± ± 问题4:sin(α+β) cos(α+β) sin(α-β) cos(α-β) tan2αtan(α+β) tan(α-β)基础学习交流1.A sincos=(2sincos)=sin(2×)=sin=.2.B ∵0<1<,∴cos1>0,∴===c
7、os1.3. 原式=()=tan(2×22.5°)=tan45°=.4.解:在Rt△BCG中,设
8、CG
9、=x,由于△BCG≌△ABF,所以
10、BF
11、=x.由题意知,
12、BC
13、=1,
14、GF
15、=,而
16、CG
17、2+
18、BG
19、2=
20、BC
21、2,∴x2+(+x)2=1,∴x=,∴sinθ=x=,∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=2×()2-1=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=4sincoscos=2sincos=sin=.(2)原式==tan2α.(3)原式=sin2-cos2=-cos=.【小结】三角函数式的化简
22、与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正确使用. 探究二:【解析】(1)由题意得(sinα+cosα)2=,即1+sin2α=,∴sin2α=.又2α∈(0,),∴cos2α==,∴tan2α==.(2)∵β∈(,),β-∈(0,),sin(β-)=
