有限字长滤波器设计

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1、8.1引言1.引起有限字长的误差源：•A/D变换的量化误差；•用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差；•在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理(舍入或截尾)及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差；•溢出振荡产生的误差；•固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差；第8章数字系统的有限字长效应2.与误差有关的因素：•系统中数的表示方式原码补码反码•数的处理方式：相加时的上溢舍入相乘时的下溢截尾•滤波器的实现方式：IIR、FIR、FFT的各种不同实现方式；•信号形式：规则信号、随机信号3.分析方法：非线性模型统计分析模型二进制表数浮点定点：快速、经济；常用于

2、专用机8.2二进制数的表示及量化误差1.定点及浮点表数x=2c×M•定点表数：c=常数特点：运算方便，实现简单，快速，经济；动态范围小；•浮点表数：c随时调整，而且把尾数M的最高位调整为1，称为规格化表示，≤＜1特点：动态范围大，但运算复杂，设备量大，速度慢；IEEE754—1985标准定义的单精度浮点格式313023220ScM8bit23bit•成组浮点：按运算要求把数分成若干组（例如FFT中，每级作为一组），每组数中最大数的阶码c，作为该组数的共同阶码，用这单一阶码做运算；特点：运算简单，同时有一定的精度。2.补码表数：又称“二的求补”•补码定义：其真

3、值为b0＝0x＞0b0=1x＜0，0≤x＜1－1≤x＜0－Xm≤x≤Xmb0符号位bi为0或1Xm：确定x表数范围，若系统用纯小数运算，则：Xm=1；•有限位寄存储器数的表示：寄存储器为B+1位,经量化3.补码相加运算及其特性•补码加法：f(x)=x1+x2=＜x1＞2+＜x2＞2=＜x1+x2＞2∴若符号位有进位，则舍弃≤1－2－B，其中最小量化间隔：q=2－B＜1•补码加法的两个重要特性：①f(x)是x的周期性函数，周期为2；②如果补码运算总和不溢出，则中间结果有溢出，不会影响结果的正确性；表示为：f[f[f…f[f[x1]+x2]…]+xN]=f[x1

4、+x2+…+xN]•相加溢出处理（上溢，overflow）①饱和(saturation)处理②环绕（wrap）处理4.补码相乘运算•相乘由于字长加长引起下溢，处理方法截尾(Truncation)舍入(Round--off)5.定点补码表数下溢处理量化误差分析：•量化误差定义：e=[x]Q-x1)定点表数、截尾处理量化误差：eT=[x]Q-x•正数x＞0情况：x=0△b1b2…bBbB+1bB+2…bB1若：bB+1=bB+2=bB+3=…=0，则有[x]Q=x，eT=[eT]min=[x]Q-x=0bB+1=bB+2=bB+3=…=1，则有eT=[eT]ma

5、x=[x]Q-x＜0[eT]max=[x]Q-x=≈-2-B=－q＜0∴-2-B=－q＜eT＜0•负数x＜0补码情况：x=1△b1b2…bBbB+1bB+2…bB1若：bB+1=bB+2=bB+3=…=0，则有[x]Q=x，eT=[eT]min=[x]Q-x=0bB+1=bB+2=bB+3=…=1，则有eT=[eT]max=[x]Q-x＜0[eT]max=[x]Q-x=≈-2-B=－q＜0∴-2-B=－q＜eT＜0q2q-q-2qq2q-q-2q截尾处理量化的非线性关系：eTP(eT)1/q0-q[x]Qx2)定点表数、舍入处理量化误差：eR=[x]Q-x•

6、正数x＞0情况：x=0△b1b2…bBbB+1bB+2…bB1若bB+1=0,bB+2=bB+2=…=bB1=1,产生最大误差eR=[x]Q－x===≈同样：若bB+1=1,bB+2=bB+2=…=bB1=0,产生最大误差eR=[x]Q－x=…∴舍入量化误差范围：eR•负数x＜0补码情况：x=1△b1b2…bBbB+1bB+2…bB1[x]Q=同样可以证明：舍入处理量化误差范围：＜eR=[x]Q-x≤＜≤舍入处理量化的非线性关系：[x]Qxq2q-q-2q2qq-q-2qeRP[eR]0－qq1/q6.量化误差的统计分析模型：[x(n)]Q=x(n)+e(n

7、)1)对e(n)统计特性的假设2)e(n)的统计量表征：•平均值：截尾处理：=E[e(n)]=舍入处理：•方差：两者相同=舍入处理的自协方差序列8.3A/D变换中的量化误差1.A/D变换的物理模型非线性分析模型：统计分析模型：取样器量化器xa(t)xa(nT)=x(n)限带信号取样器xa(t)x(n)[x(n)]Q=x(n)+e(n)e(n)•e(n)经常被看作量化误差，又被称为量化噪声，它的性质如前面所述，对定点运算e(n)具有加性噪声性质；•A/D统计分析模型经常用来估计A/D所需的位数；2.A/D变换输出（S/N）的计算上式表明：字长每增加一位，提高6

8、dB3.A/D量化噪声通过线性系统h(n)x(n)e