系统的有限字长数值问题

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1、6.5系统的有限字长数值问题1.量化误差2.A／D转换器的字长选择3.D／A转换器的字长选择4.运算字长选择6.5.1量化误差来源在前面的介绍中，我们只讨论了信号在时间上的离散化问题，而未考虑在幅值上的量化效应。实际的采样过程是由A/D来完成的，如图：自变量t函数值f(t)信号分类连续（连续时间信号）连续模拟信号离散（离散时间信号）连续采样信号离散数字信号对连续的模拟信号f(t)按一定的时间间隔，抽取相应的瞬时值(即离散化)，这个过程称为采样。f(t)经过采样后转换为时间上离散的模拟信号f(nT)，即幅值

2、仍是连续的模拟信号，简称为采样信号。以某个最小数量单位的整数倍来度量f(nT)，这个过程称为量化。采样和量化模块之间需要保持电路维持f(t)的采样信号有足够的电平。f(nT)经量化后变为量化信号，再经过编码，转换成离散的数字信号f(n)，即时间和幅值都是离散的信号。1.量化误差量化单位q，也就是机内数的最小单位。当计算机字长为n1，对定点无符号整数：举例，8位和12位的A/D转换器，在0—5V时的q分别是：通过A／D转换可计算出模拟电压x相当于多少个整量化单位，即：x=Lq+ε式中L为整数，对于余数ε(ε

3、＜q)可以用截尾或舍入来处理。所谓截尾就是舍掉数值中小于q的余数ε(ε＜q)，其截尾误差εt为：εt=xt-x式中x为实际数值，xt为截尾后的数值。显然-q＜εt≤0。所谓舍入是指，当被舍掉的余数ε大于或等于量化单位的一半时，则最小有效位加1；而当余数ε小于量化单位的一半时，则舍掉ε。这时舍入误差为：εr=xr-x式中x为实际数值，xr舍入后的数值。显然，-q/2≤εr≤q/2。计算机系统中数值误差来源：A/D转换的量化误差，其大小为小于一个量化单位q。控制规律计算中，控制参数的量化过程中，由于有限字长效

4、应会产生量化误差，这是在CPU中产生的。D/A转换的过程中会产生第三次量化误差。2、量化误差的来源（1）A/D转换的量化效应：q（2）控制规律计算中的量化效应：计算所用的字长n2≥存储所用的字长n1，低位数采用舍入或截尾两种方法处理。（3）控制参数的量化效应：有限字长效应导致控制参数的量化值与实际值之间产生误差。由于控制对象模型的不准确性，其影响可忽略不计。（4）D/A转换的量化效应：从图6.26可见，到u(k)之间会产生量化效应，这是因为存储所用的字长n1≥D/A字长n，一般用截尾来处理。6.5.2A/

5、D，D/A及运算字长的选择为把量化误差限制在所允许的范围内，应使A／D转换器有足够的字长。确定字长要考虑的因素是：输入信号x的动态范围和分辨率。(1)输入信号的动态范围λ为转换当量[mV/bit](2)分辨率式中，D0为所要求的分辨率。n1为字长。1、A/D转换器字长选择分辨率定义为：则例如，某温度控制系统的温度范围为0至200℃，要求分辨率为0.005（相当于1℃），可求出A/D转换器字长：因此，取A/D转换器字长n1为8位。例如，8位的分辨率为：16位的分辨率为：2、D／A转换器的字长选择执行机构的最

6、大输入值为umax最小输入值为umin灵敏度为λ一般情况下，可选D/A字长小于或等于A/D字长。常用的A/D和D/A字长为8，10，12，14，16位等。按照公式估算出的字长应取整后再选择这几种之一，取靠近值的大者。3、运算字长选择由8位或12位A/D转换器采集数据之后，为了保证运算精度，在CPU内几乎毫无例外的至少采用16位字长运算。运算精度不仅取决于字长，而且还取决于采用定点数或浮点数。运算字长的选择，常用到标准数0至1的概念，犹如模拟信号统一为0—10mA(DC)或4—20mA(DC)。见书P199

7、页的表6.1，表6.2浮点数的不足之处是运算复杂，既要作阶码运算，又要作尾数运算，而且必须阶码对齐才能作加、减运算。