有限冲击响应滤波器FIR设计

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1、5.5有限冲激响应滤波器的设计1.线性相位FIR滤波器特性1)对h(n)的约束：2)对零点分布的限制：对单位圆呈现共轭反演对称分布；3)对频率特性的限制：由h(n)的奇偶二种对称性以及N等于奇偶不同情况可以有四种频率特性与之对应。•偶对称情况：•奇对称情况：情况1：经推导化简得频率特性：特点：对ω＝0，π，2π呈偶对称。情况2：经推导化简得频率特性：特点：•当ω=π时，H(π)=0，即在z＝-1处有一个零点，对ω=π是奇对称，因而不能用这种滤波器实现高通滤波特性；•当ω=0，2π时，是偶对称，可以实现低通滤波特性；•是以4π为周期的周期性函数。情况3：经推导化简得频率特性：特点：1>

2、在ω＝0，π，2π处为零，也就是H(z)在处为零；2>对ω＝0，π，2π成奇对称，因而无法实现低通和高通；3>是以4π为周期的周期性函数；4>有固定的相移，适宜做微分器、希尔伯特变换器；情况4：经推导化简得频率特性：特点：1>在ω＝0，2π处为零，即H(z)在z=1处为零点；2>对ω＝0，2π呈奇对称，对ω＝π呈偶对称；3>有固定的相移，适宜做宽带微分器和正交变换器；线性相位FIR滤波器频率特性：为ω的实偶函数—h(n)=h(N-1-n)—偶对称条件N=odd，ω=0，π不为0；N=even，ω=0不为0,ω=π为0,为ω的虚奇函数—h(n)=－h(N-1-n)—奇对称条件N=odd

3、，ω=0，π都为0；N=even，ω=0为0,ω=π不为0,(有相移)4)FIR滤波器设计方法•窗函数法设计—频域方均误差最小；•频率采样法设计—函数插值法逼近；•等波纹法设计—Chebyshev最佳一致逼近；2.窗函数法设计1)窗函数法设计准则—频域方均误差最小推导得到：h(n)=hd(n)RN(n)矩形窗函数2)理想低通加矩形窗后频率特性的变化理想低通：矩形窗：加矩形窗后理想低通频率特性：几个特殊点的观察加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：（1）使理想频率特性不连续点处形成一个过渡带，其宽度正比于窗的频率响应的主瓣宽度；8.95%－21dB（2）在截止频率的两边的地

4、方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对电平，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。(即Gibbs现象)。（3）改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变ω的坐标比例以及改变WR()的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。结论：在窗函数设计中与N成反比；与窗函数主瓣宽度成正比；与N无关；与窗函数旁瓣电平(面积)成正比；过渡带宽度阻带衰减3)窗函数的主要指标及类型(1)窗函数的主要指标①主瓣宽度：3dB带宽：主瓣归一化幅度降到－3dB时的带宽；或直接用主瓣零点间的宽度；②旁瓣最大峰值电平A(dB）；③旁瓣谱峰衰减速度

5、D(dB/oct）(2)窗函数的主要类型①结构型窗：由简单窗函数的相加、相乘、卷积等组合成性能较好的窗函数；例：汉宁(Hanning)窗•Kaiser窗：定义：令：可确定：②按优化准则构造的窗函数：•Dolph—ChebyshevWindow给定时宽T和旁瓣电平，让主瓣宽度最窄；Dolph—ChebyshevWindow(N=31,103≒60dB)dB4)不同窗函数和不同N对滤波器频率特性的影响：5)窗函数法设计举例：参考教材6)窗函数法设计优缺点：优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器(例如微分器)；4.方法特别简单。缺点：1.不易控制边缘

6、频率；2.幅频性能不理想；3.h(n)较长；3.频率取样法设计频率抽样法是指定离散的理想频率响应Hd(k)抽样值，通过内插求得H(z)，因而是插值法逼近。1)频率取样法设计原理由Hd(k)求Hd(z)的插值公式：S(ω,k)若具有线性相位特性，则：因而频域内插公式：设计结果的评价：①取样点与要求的特性完全吻合，其他点由内插决定；②在截止频率附近形成平滑的过渡带；③阻带衰减小于20dB；2)阻带频率特性的改善•措施：在通带和阻带之间设置“非约束”频率取样点，改变其点数和幅度，使阻带衰减达到最大；•原理：H1=0.5H1=0.3904H1=0.5886H2=0.1065一个：44～54d

7、B二个：65～75dB三个：85～95dB过渡带的样本点数与阻带衰减的估算3)设计原则：•选择非约束频率点的个数和幅度，使阻带衰减达到最大；•与N成反比；与非约束频率点的个数成正比；与N无关；与非约束频率点的个数和幅度有关；过渡带宽度阻带衰减4.等波纹逼近1)函数逼近法简介：用PN(x)N阶多项式来逼近函数f(x)①最小均方逼近：②插值法逼近：多项式PN(x)，在x=xk点有PN(xk)=f(xk),k=1，2，3，，N③最佳一致逼近：着眼于在[a,b]区