2013年中考数学压轴题,实践操作、探究类问题

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1、专题8实践操作、探究类问题1.（2012安徽省12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF;（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.11【答案】解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DEAB，DFAC。22又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，∴BG=AC+AG。ABACb+c∵BG=AB－AG，∴BG==。22b+cb+ccb（2）证

2、明：BG=，FG=BG－BF==，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。2222又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。∴DG平分∠EDF。（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。∴CD=BD=DG。∴B、G、C三点共圆。∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，AB

3、ACb+c又由BG=AB－AG即可得BG==。22（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。2.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求

4、写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。（2）设正方形E'F'P'N'的边长为x．3∵△ABC为正三角形，∴AE'=BF'=x。3239+33∴x+x=3+3。∴x=，即x=333。323+30（3）如图②，连接NE，EP，PN，则NEP=90。设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的

5、面积和为S，则NE=2m，PE=2n。2222222∴PN=NE+PE=2m+2n=2m+n.2212∴S=m+n=PN。2延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。22222在RtPGN中，PN=PG+GN=m+n+mn。33∵m+m+n+n=3+3，即m+n=3.3392∴S=+mn。22∴①当mn=0时，即mn时，S最小。129∴S=3=。最小222②当mn最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。∵m+n=3，由（2）知，m=333。最大∴n最小=m最大=3333=633。∴1212S最大=9+m

6、最大n最小=9+3336+33=99543。22【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表92达式为：S=+mn，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；2②当m最大而n最小时，S取

7、得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。3.（2012福建莆田12分）(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．2求证：AB＝AD·AC；(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交ACABBDAF于点F．1，求的值；BCDCFC(3)(5分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡDABBDAF于点E，交直线AC于点F。若n，请探究并直接写出的所有可能的值(用BCDCFC含n的式子表示)，不必证明．

8、【答案】解