步步高大一轮复习讲义数学2.8对数与对数函数

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1、§2.8　对数与对数函数1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)常用对数底数为____自然对数底数为____2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝______________；②loga＝______________；③logaMn＝__________(n∈R)；④logamM

2、n＝______________.(2)对数的性质①alogaN＝______；②logaaN＝______(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：____________(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝__________.3．对数函数的图像与性质图像a>101时，______当01时，______当0

3、，______(6)在(0，＋∞)上是______(7)在(0，＋∞)上是______4.反函数指数函数y＝ax与对数函数__________互为反函数，它们的图像关于直线________对称．[难点正本　疑点清源]1．关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝lo

4、gax的定义域应为{x

5、x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．1．(课本改编题)写出下列各式的值：(1)log26－log23＝________；(2)lg5＋lg20＝________；(3)log53＋log5＝______；(4)log35－log315＝________.2．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区

6、间是__________．3．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过两点(－1,0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.4．(课本改编题)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，则＋的最小值为________．5．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是(　　)　A.B．(10a,1－b)C.D．(a2,2b)题型一　对数式的化简与求值例1　计算下列各式．(1)lg25＋lg2·

7、lg50＋(lg2)2；(2)；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．探究提高　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．(1)化简lg＋lg70－lg3－；(2)已知f(3x)＝4xlog23＋233，求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值．题型二　对数函数的图像与性质例2　作出函数y＝log2

8、x

9、＋1

10、的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数y＝log2x的图像经过怎样的变换而得到．探究提高　作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来．一般是先作出基本函数的图像，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像．(2010·课标全国)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)A．(1,10)　　B．(5,6)　　C．(10,12)　　D．(20,24)题型三　对数函数的综合应用例3　已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a>0且a≠1)．

11、(1)若f(2)＝2，求a的值；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．探究提高　本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及