微分几何2.6曲面上的测地线

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1、第六节曲面上的测地线平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0；（3）直线段是连接点与点之间的最短线段。曲面上的测地线相当于平面上的直线。6.1曲面上曲线的测地曲率一、测地曲率的定义给定曲面S：（c）是曲面上的一曲线：在曲线上一点P有：令，则是两两正交的单位向量且成右手系，都在P点的法面上。定义：曲线（c）在P点的曲率向量上的投影（即在S上P点的切平面上的投影）称为曲线在P点的测地曲率。二、性质命题1：证明：注意：都在P点的法面上。测地曲率的几何意义：曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲

2、线的曲率。证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是，（C）和都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。取为柱面上P点的法向量，由于柱面垂直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P的法向量应在切平面上，而（C）点的切向量也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量与法向量所确定的平面，法截面与柱面的交线就是法截线，因此柱面在方向的法曲率由于，其中k为（C）在P点的曲率，为（C）的主法向量和柱面在P点的法向量之间的角，即推论：曲面上的直线的测地曲率为0。这

3、是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。习题3。三、测地曲率的计算公式特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得这就是测地曲率的一般计算公式。下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的角为，则同理代入前面的kg的计算公式可得这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为其中分别为u线和v线的测地曲率。事实上，对于u线和v线来说，分别有，代入测地曲率的计算公式有6、2曲面上的测地线一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为0，则称为测地线。二、性质1）如果曲面上有直

4、线，则必为测地线。2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除了曲率为0的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则但即，所以主法线重合于法线。反之，若主法线重合于法线，则，得所以曲线是测地线。推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法线同时与两个曲面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线重合于法线。三、

5、测地线的方程设（C）为测地线，则它的主法线重合于法线，即但又g=det(gkl)不为0，于是得到测地线方程为特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上测地线的微分方程为若给出了初始条件：则有唯一解例题1，2。四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。证明：设测地线方程为满足上述方程的曲线都是测地线，给出了初始条件：s=s0，即一个点和一个切方向由常微分方程理论，方程组有唯一解，即存在唯一一条测地线（C）：过已知点并切于定方向。6.3曲面上的半测地坐网一、定义：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，

6、另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。极坐标网是它的特例。二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（C）上的每一点，沿着（C），在切平面上对应于垂直于（C）的方向，存在唯一条测地线，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且的正交轨线族中包含了（C）。三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网，有，我们现在证明这个结论。首先，由于半测地坐标网是正交的，所以F=0，

7、半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为u线，dv=0,即，它满足测地线微分方程但由P165，当坐标曲线正交时，即E与v无关，只与u有关，可设在曲面上引进新参数从而第一基本形式变为6.4曲面上测地线的短程性定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点P、Q则过这两点在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线。证明：设（C）是曲面上连结P，Q的一条测地线，在曲面上选取半测地坐标网，使曲面上包含（C）在内的一测地线族为u-线，它的正交轨线为v-线，于是曲面的第一基本形式为不妨设曲线（C）的方程为v=0，P和Q的坐标分别为(u1

8、,0).(u2,0)(u1