日常生活中的经济问题

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1、数学实验4.2日常生活中的经济问题银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁

2、入大学时所需的费用为30000元，按年利率10%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元.他们已经筹集4万元，另外6万元申请抵押贷款.若贷款月利率为1%，还贷期限为25年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=60000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)a

3、n-1-x,n=1,2,3,…分期付款小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可.同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为an，则a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…贷款模型a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…一阶线性差分方程在上述模型中，给出了an+1

4、与an之间的递推公式.将它们写成统一的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,…称此类递推关系为一阶线性差分方程.当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.定义1对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下：a1=a2-a1,a2=a3-a2,…an=an+1-an,…定义2对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二阶差分,记为2A=(A).即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an一般地，可以定义n阶差分.例1用计算机计算

5、存款模型的各阶差分.(*首先计算20年内的存款清单*)r=0.07;a[0]=1000;a[n_]:=(1+r)a[n-1];money1=Table[{n,a[n]},{n,0,20}];TableForm[Join[{{年份,存款额}},money1]](*其次计算各阶差分*)da[n_]:=a[n+1]-a[n];d2a[n_]:=da[n+1]-da[n];d3a[n_]:=d2a[n+1]-d2a[n];diff=Table[{n,a[n],da[n],d2a[n],d3a[n]},{n,0,9}];TableForm[Join[{{N,An,Dan,D

6、2an,D3an}},diff]]dif1=Transpose[diff];TableForm[{dif1[[3]]/dif1[[2]],dif1[[4]]/dif1[[3]],dif1[[5]]/dif1[[4]]}]差分方程an=b的解由an+1-an=b,n=0,1,2,…,得an-a0=nb.如果a0=c,则有an=nb+c.一般地,差分方程kan=b的解是:an=cknk+ck-1nk-1+……+c1n+c0,其中ck=b/k!.验证如下：a[n_]:=c[4]n^4+c[3]n^3+c[2]n^2+c[1]n+c[0];da[n_]:=a[n+1]

7、-a[n];d2a[n_]:=da[n+1]-da[n];d3a[n_]:=d2a[n+1]-d2a[n];d4a[n_]:=d3a[n+1]-d3a[n];d3a[n]//Simplifyd4a[n]//Simplify差分方程an+1=an+b的解定理1一阶线性差分方程an+1=an+b的通解是：定理2对一阶线性差分方程an+1=an+b,若

8、

9、<1,则an无限趋近于平衡解b/(1-)(收敛型不动点);若

10、

11、>1,则an逐渐远离平衡解b/(1-)(发散型不动点).家庭教育基金模型由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…得通

12、解:将a0