数字信号处理数字相关和数字卷积

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第八章数字相关和数字卷积（CorrelationandConvolution） PETScannerSiemens/CTIPETSystemsandGEMedicalSystemsInnerdiameter~60cm24-48layercrystal,axiallength15cmSpaceresolution(fwhm）：4-5mm CT-PET融合后图像 第一节线性相关（LinearCorrelation）线性相关是相关的一种运算，这里的线性相关与医学统计中略有不同。线性相关是讨论两信号之间的同步性（synchronism）或相似性(similarity)或同相性(in-phase)或两信号的变化规律是否具有线性关系(linearrelationship)或接近线性关系的程度。 设有离散信号和，其线性相关函数为：线性相关运算的简洁表示为：式中“·”表示线性相关运算符（correlationoperator）。当和完全相等时(6-1)，(6-2)就由互相关函数变成自相关函数了。求解互相关函数有直接计算法、图形法、表格法。 （3）图形法分别画出x(n)和y(n)以及位移的y(n)序列，把x(n)y(n+m)两两序列相乘然后相加就得到 第二节循环相关（CircularCorrelation）循环相关是针对序列的循环移位的一种相关运算。有限长序列的循环移位是指，也就是先让序列以N为周期进行周期延拓，然后再进行左移位，只朝一个方向移位的原因是：对周期序列向左移动一个位置，也就相当于向右移动了N－1个位置。最后取（0，N－1）的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 ⊙循环相关运算的简洁表示为：⊙式中⊙表示循环相关运算符求两个序列的四点循环相关函数可以用直接计算法，图形法，表格法 图形法 循环相关的矩阵表示 第三节相干函数与相干系数（CoherentFunctionandCoherentCoefficient）相关函数值的大小与x(n)和y(n)序列值的大小有关，难于比较各组信号的相关程度，因而提出了相干函数（coherentfunction）的概念。设有两个离散信号x(n)和y(n)，为了比较这两个信号的相似程度，可以用常数a乘上其中一个信号，使得两者之间误差能量最小，a可以用最小二乘法来估计 误差能量使得误差能量最小 令 第四节线性卷积（LinearConvolution）卷积运算是线性时不变系统分析的重要工具，很多滤波器的设计中都要用到卷积运算。给出线性卷积运算的定义，设有离散信号x(n)和y(n)，其线性卷积为： 与线性相关运算不同的是：①卷积运算时，y(n)要先反折得到y(-n)；②m>0表示y(-n)序列右移，m<0表示左移，不同的m得到不同的值。其余与相关计算相同。线性卷积运算的简洁表示为：式中“*”表示线性卷积运算符求解线性卷积也有直接计算法、图形法、表格法 第五节循环卷积（CircularConvolution）循环卷积和循环相关类似，也是针对序列的循环移位的一种运算。有限长序列的循环移位是指，也就是先让序列y(n)以N为周期进行周期延拓，再进行反折，然后朝右移位，只朝一个方向移位的原因是：对周期序列向右移动一个位置，也就相当于向左移动了N－1个位置。最后取（0，N－1）的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 设有序列和，其N点循环卷积为：由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是N点，m取[0，1，2，…，N-1]。循环卷积的简洁表示为：式中表示循环卷积运算符求解循环卷积也有直接计算法、图形法、表格法 第六节相关技术的应用（ApplicationofCorrelation）自相关函数用来研究信号本身，例如信号波形的同步性、周期性等；互相关函数用来研究两个信号的同一性程度，例如测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号，如果两个信号完全不同，则互相关函数接近于零，如果两个信号波形相同，则在提前、滞后处出现峰值。 对于确定信号x(n)的自相关函数为：如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义为：下面给出几种常用信号的自相关函数： 1.信号为正弦波的自相关函数设，周期为M，则自相关函数为 2.信号为白噪声的自相关函数当观测信号x(n)中包含了周期信号s(n)和白噪声w(n)时，即，如果信号和噪声互不相关，则自相关函数为：当m足够大时，观测信号的自相关函数仍不为零，则表明在背景噪声中含有周期信号，并且可以估计出该信号的周期。 结合生物医学信号，相关技术可以应用在生物系统的自发振荡的检测和振荡周期的估计；可以利用互相关技术对微血管中红血球的流速进行测量；用相关技术检测超声脉冲回波；脑诱发电位提取中的应用等等。