方差分析统计学原理

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1、t检验法适用于两样本平均数的差异检验，但需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时若仍采用t检验法就不适宜。处理这类问题通常采用方差分析方法。方差分析(Analysisofvariance简称ANOVA)用于推断多个总体均数有无差异例在饲料养鸡增肥的研究中，某饲料研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：鸡饲料试验数据饲料A鸡重（克）A110731009106010011002101210091028A211

2、07109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为此，我们把饲料称为因子，记为A，而三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为A1,A2,A3，使用配方Ai下第j只鸡60天后的重量用yij表示，i=1,2,3,j=1,2,,10。我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进行解决。方差分析又叫变异数分析，1928年由英国统计学家RonaldFisher首先提出来的

3、，所以方差分析又叫F检验。第一节方差分析简介单因素方差分析（即完全随机设计资料的方差分析）、两因素方差分析（即随机区组设计资料的方差分析）和三因素方差分析（即拉丁方设计资料的方差分析）及多个样本均数间的多重比较。方差分析主要内容方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：例：为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组6只，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重（g），数据见表9—2，问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别？一、方差分析的基本思想甲组乙组丙组4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.

4、14.64.93.34.24.7ni666从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这种差异（总变异）可以分解成两部分：即（1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随机误差的作用）（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相等（此变异主要反映的是随机误差的作用）各部分变异的计算：①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均差平方和来表示。其中②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各组间大小不等）用组间离均差平方和来表示。各组均数之间相差越大，它们与总均数的差值就越大，越大；反之，越小。③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）用组内离均差

5、平方和来表示。三个变异之间的关系：其中：离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称均方差，简称均方（MS）。的大小就反映了各部分变异的平均大小。方差分析就是通过比较组内均方和组间均方的大小关系来判断处理因素有无效应。检验统计量：如果各组的总体均数相等，即无处理因素的作用，则组内变异和组间变异都只反映随机误差的大小，此时组间均方和组内均方大小相当，即F值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果处理有作用，则组间变异不仅包含随机误差，还有

6、处理因素引起的变异(组间变异主要反映处理因素的作用)，此时组间均方远大于组内均方，则F值远大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据F值的大小可判断各组之间有无差别。可见，方差分析的基本思想就是根据实验设计的类型，将全部测量值总的变异分解成两个或多个部分，每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的作用）加以解释，通过比较各部分的均方与随机误差项均方的大小，借助F分布来推断各研究因素对实验结果有无影响。方差分析的应用条件（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布；（2）各组总体方差相等，即方差齐性。1用于两个或多个均数间的比较2分析两个或多个因素的交互作用3回归方程的假设检验4

7、方差齐性检验方差分析的用途第二节单因素方差分析完全随机设计资料的方差分析一、完全随机设计完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。将衡量试验结果的标志称为试验指标。将影响试验结果的条件称为因素。因素在试验中所处的不同状态称为该因素的水平。只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。方差分析的基本概念二、变异分