浙江大学自动控制理论课第四章根轨迹法

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1、第四章根轨迹法作者：浙江大学邹伯敏教授自动控制理论普通高等教育“九五”部级重点教材7/16/20211第四章根轨迹法第一节根轨迹的基本概念我们的任务是求当参变量K从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向变化时，特征根s1和s2相应的变化关系图4-1，二阶系统系统闭环特征方程式为：闭环系统的特征根：C(s)R(s)-对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：7/16/20212第四章根轨迹法K00.250.51…∞s10-0.5-05+j0.5-0.5+j0.8

2、7…0.5+j∞s2-1-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87…-0.5-j∞表4-1根与K的关系1)0≤K＜¼，s1、s1为两相异的实数根（过阻尼状态）2)K=¼，s1=s2=-0.5，（临界阻尼）3)¼＜K＜∞，s1、s2为一对共轭复根（欠阻尼）对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态7/16/20213第四章根轨迹法图4-2如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为4%，求一对希望的闭环极点。由式（3-26）求得ξ=0.707，由于arctan0.707=45°在图4-2上过坐标原点作与负实

3、轴夹角为45°的射线，它与根轨迹的交点S=-05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。自动控制理论7/16/20214第四章根轨迹法可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一参数的全部数值关系的方法。一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹

4、称为参量根轨迹。7/16/20215第四章根轨迹法图4-3根轨迹的幅值条件与相角条件特征方程：上式改写为：自动控制理论于是得：或7/16/20216第四章根轨迹法假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：7/16/20217第四章根轨迹法自动控制理论则上式改写为：图4-4于是得：7/16/20218第四章根轨迹法幅值条件与K有关，相角条件与K无关满足相角条件的点必然满足幅值条件。反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。自动控制理论结论：图4-5幅值条件：系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对

5、应圆周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S值才是方程的根。根轨迹就是S平面上满足相角条件点的集合。7/16/20219第四章根轨迹法绘制根轨迹步骤1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；2）用幅值条件确定相应点对应的K值。例4-1求图4-1所示系统的根轨迹解：1）用相角条件绘制根轨迹自动控制理论2）用幅值条件确定增益K7/16/202110第四章根轨迹法图4-6自动控制理论7/16/202111第四章根轨迹法第二节绘制根轨迹的基本规则开环传递函数有如下两种表示：自动控制理

6、论其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的关系为：7/16/202112第四章根轨迹法绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的对称性由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点闭环特征方程：自动控制理论当k0由变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根轨迹的一条分支；7/16/202113第四章根轨迹法自动控制理论因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条；根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0

7、=0时有：根轨迹终点就是当时根的位置；由此可知，开环传递函数的零点-zi(i=1,…,m)是m条根轨迹分支的终点条根轨迹的终点也需确定当7/16/202114第四章根轨迹法规则3：根轨迹在实轴上的分布自动控制理论幅值条件7/16/202115第四章根轨迹法图4-7实轴上根轨迹的确定自动控制理论实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点si右方实轴上开环极点数与零点数之和的数是否为奇数。mr和nr分别为右方实轴上开环零点和开环极点数7/16/202116第四章根轨迹法规则4：根轨迹的渐近线自动控制理论1、渐近线的倾

8、角2、渐进线与实轴交点7/16/202117第四章根轨迹法3、用分子除以分母得7/16/202118第四章根轨迹法自动控制理论则：方程有（n-m）条根轨迹分支，它们是由实轴上点出发的射线，这些射线于正实轴的夹角为由于G(s)H(s)和W(s)分母中前两项高阶次项完全相同，因而当s→∞时，G(s)H(s)就能近似地用W(s)来表征。方程1+G(s)H(s)=0的(n-m)条根轨迹分支便会趋向于1+W(s)=0的根轨迹。即它们有相