弦切角的性质25与圆有关的比例线段

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1、2.4弦切角的性质圆心角和圆周角。问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的两种什么角？回顾圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。问题2：圆周角定理圆心角定理观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上.在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A.OCABD图1EO(C)ABD图2E当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象?在图2中,DE是切线,∠BCE=∠A仍然成立吗?猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.OＡＢＥCＢＡＢOＡＥCＢＥCＥCＥCＥCＥCＥCＥCOＥCＡ

2、OＥCＢＡOＥCOＡＢＥC1.弦切角:O(C)ABD图2E顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。AAAABBBBBCCCCC下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××××√练一练A(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切。弦切角的特征：ABC几何语言:BA切⊙O于AAC是圆O的弦ＡＢＣＯ2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。D∠BAC=∠ADCm(1)指出图中所有的弦切角;弦切角有：∠APC、∠APD、∠APE∠BPC、∠BPD、∠BPE(2)指出这些弦切角所夹的弧。∠APC(弧PC)∠APD(弧PCD)∠APE(弧PCE)∠BPC(弧PEC)练一练

3、如图，直线AB和⊙O相切于点P，PC、PE是弦，PD是直径。ABOPDCE∠BPD(弧PED)∠BPE(弧PE)练一练练一练例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD.OABCDE12思路一:思路二:连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2OABCDE312例2:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.BAEDCFO1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则图中弦切角有个.4若∠AOC=1200,

4、则∠ACD=.OBDAC6002.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直径,若∠BCM=400,则∠ABC等于（）A.400B.500C.450D.600MCNBAO3.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,若∠A:∠B:∠C=4:3:2,则∠DEF=,∠FEC=.B500700练习：ABFEDCO弦切角-------顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.注意：内容总

5、结方法归纳定理的证明(化归思想、分类思想)化归化归ＥCＡＢOCＥＡOＢOＢＡCＥ谢谢指导分析：延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。(1)圆心O在△ABC的边BC上证明:ABOCE(2)圆心0在△ABC的内部OＡＢＥC(3)圆心0在△ABC的外部,OＡＢＥC2.5与圆有关的比例线段探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?CABPDOACBPDOACBPDOPA·PB=PC·PD1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。A(C.P)BD探究2:把两条相交弦的

6、交点P从圆内运动到圆上.再到圆外，结论是否还能成立?PA·PB=PC·PDP在圆外:易证△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圆上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC2.割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证△PAC∽△PDA上式可变形为PA²=PC·PD3.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.故PA·PB=PC·PD仍成立因为

7、A,B重合，探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?A(B)PODC易证Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC(D)PA²=PC·PD思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?O