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1、§10.2平方反比引力场中的运动以行星在太阳的万有引力场中运动为例进行推导和阐述,其结论具有普遍性.一般解质点动力学问题的最终目的是求出质点的运动学方程，然而求运动学方程积分比较困难,我们暂且避开这一难点,先解决运动轨道问题,和通过两个守恒律得出有关重要结论.一、从平方反比引力求轨道根据比尼公式直接写出质点的轨道微分方程222æduö2-mhuç+u÷=-GMmuç2÷èdqø化简后得(线性方程)2duGM+u=22dqh此方程的通解为GMu=+Acos()q-q20h其中A和q0为积分常数(h与初值有关).上式也可写成21GMéAhù=1+cos()q-
2、q2ê0úrhëGMû引入22hAhp=,e=GMGM则轨道方程成为pr=1+ecos()q-q0可知轨道为圆锥曲线,根据e的大小可确定轨道为双曲线或抛物线或椭圆.drpesin(q-q)0=dq[]+()-21ecosqq0可见当q=q0时,r取极值,轨道上r取极值的点称为拱点.如把指向拱点的直线作为极轴,则q=0.0pr=1+ecosq两个常数p和e由初始条件确定，也可由总能量和角动量(两个守恒量)确定.2hmr2q=mh=L,p=GM2Lp=则2,p由角动量L决定.GMm2p12LGMmE=mr+-r=222mrr1+ecosqdrdqesinq
3、hhGMmr==p=esinq=esinq22dqdt()1+ecosqrpL21GMm=(1+ecosq)2rL()23()23GMm22GMm2E=esinq+(1+ecosq)222L2L23()23(GM)mGMm()2-(1+ecosq)=e-122L2L所以22ELe=1+()GM2m3偏心率由总能量E和角动量L决定.二、几点讨论1.轨道类型的确定.若E>0,则e>1,轨道为双曲线.若E=0,则e=1,轨道为抛物线.若E<0,则e<1,轨道为椭圆.关于轨道类型的判断还可利用有效势能曲线,在万有引力场中,有效势能为2GMmLV=-+eff2r2
4、mr质点的运动相当于在一维势场中运动,有12mr+V=Eeff212mr=E-V根据2eff必须恒正确定质点的运动范围.2.总能量与椭圆半长轴的关系.在近日点写出能量关系,有212GMmmhGMmE=mrq-=-2minr2r2rminminmin利用下列关系r=a(1-e)min22h=GMp=GMa(1-e)可得GMmE=-2a电子绕核运动的能量只决定于轨道的半长轴,即氢原子的能级只与主量子数有关.3.角动量不能影响轨道的半长轴,不能影响轨道类型,但要影响轨道的偏心率,对椭圆而言,角动量越大,偏心率越小.三、隆格--楞次(Runge--Lenz)
5、矢量在平方反比引力场这种特殊情况中,除角动量守恒和机械能守恒外,还有一个守恒量:隆格--楞次矢量守恒,它的表达式为drrB=´L-GMm=常矢dtr(A)这个附加的运动积分的重要性在于它对应着一种特殊的对称性——动力学对称性，由于它的存在,导致轨道的闭合.现证明如下:ddrd2rGMmrdræöæöç´L÷=´L=-´çr´÷22dtèdtødtrrèdtøGMmérædrödrù=-2êçr×÷-rúrërèdtødtûGMmdrGMmdrdæGMmrö=-r+=ç÷2rdtrdtdtèrø移项后积分即可得(A)式.利
6、用(A)式,通过代数运算就可求出轨道方程.既已证明隆格--楞次矢量B为常矢,我们就可取它为极坐标的极轴方向.以r点乘(A)式,得r×B=r×(v´L)-GMmr2LrBcosq=-GMmrm最后得2hGMr=B1+cosqGMmBe=可见轨道为圆锥曲线,轨道类型由偏心GMm决定.可以得出两个结论:(1)偏心率由矢量B的大小决定(只差一个常数因子),故有些书又称隆格--楞次矢量为偏心率矢量.(2)从轨道方程中看出,当时q=0,r=rmin,所以隆格--楞次矢量是指向轨道的近日点的.由于隆格--楞次矢量守恒的存在,才导致轨道近日点在空间位置不变
7、,使轨道成为闭合的椭圆轨道.四、开普勒三定律的证明第一定律:行星绕太阳做椭圆轨道运动,太阳位于其一个焦点上(发表于1609年).第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内所扫过的面积相等(发表于1609年).第三定律:各行星运动周期的平方与它们轨道的半长轴的立方成正比(发表于1619年),即2T=常数a3（对各行星相同）这三条定律精确地描述了行星的运动,至今仍然适用.但开普勒不能解释这些定律,直到50多年后牛顿运用他自己获得的动力学规律研究行星运动发现了万有引力定律,然后又用万有引力定律求出行星运动才有了满意的解释.通过前面的阐述,开普勒第一、二定律已得到证
8、明,现给出第三定律的证明:掠面速度等于椭圆面积除以周期Thpab=
