牛顿引力平方反比定律的发现

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1、牛顿引力平方反比定律的发现万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。国内外科学史界一致公认，在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理，是牛顿在1685至1686年间发现万有引力定律的必要前提。牛顿在一份约写于1717年的自传体备忘录中，就弓！力平方反比定律的发现曾指出，他是在1666年根据开普勒行星运动周期定律“推出了”力的平方反比关系，未提及人们通常一认为的另一根据一—离心力定律，并认为：“惠更斯先生后来所发表的离心力的理论我相信是在我之前的。最后，在1676和1677年之

2、间的冬季，我发现了一个命题，那就是在离心力等于和距离的平方成反比的情况下，一个行星必然要统处于椭圆下面一个脐点（即焦点一笔者注）的力心作椭圆运动，同时那画向这个中心的半径所掠过的面积，其大小和所用的时间成正比。在1683和1684年之间的冬季，这个命题及其论证也写进了皇家学会的记事册。”牛顿在论及开普勒命题的一份来发表手稿中写道：“在1677年，我应用流数的反求法（即积分一笔者注），发现了开普勒天文学命题的证明，那就是《原理》第一卷的命题Ⅺ：行星在椭圆轨道上运动。”他在其后追加的一页草稿中又把“证明”的日期“推迟”到1679午。事实上，《原理》第一卷命题Ⅺ，即开普勒命

3、题的内容是：物体沿椭圆绕转，求指向椭圆焦点的向心力定律；而牛顿有关开普勒命题的论证，是1685年2月13日前不久才写进皇家学会的记事册。因此，从牛顿晚年因微积分发明权之争而撰造的“剧情说明式的”自述中，我们无法确定牛顿在何时证明了开普勒命题，其对平方反比定律的认识过程，也与史实有出入。国外史学界认为，牛顿是在17世纪60年代，应用离心力定律和开普勒周期定律，得到圆轨道上的引力平方反比关系，而论及椭圆轨道上引力与距离关系的开普勒命题，是在1679年或1684年得到证明的。问国内学者对此尚无定论。笔者认为，国外学者的看法是值得商榷的。事实上，牛顿在惠更斯1673年发表离心

4、力定律之前，根据他本人提出的“（1/2）R公式”和推广的伽利略落体t2定律，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；1676年，牛顿才有可能接触到“原版的”开普勒面积定律；向胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题；而牛顿有关该命题的几何图形法证明，则记载在成文于1680年的《论椭圆轨道》原始手稿中。也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。鉴于这一问题的特殊重要性，待详述于后，以就教于海内外高朋。一、牛顿对动力学问题研究的突破点圆周运动问题

5、，是牛顿从事动力学研究的突破点，对这一问题的成功处理，是他作出科学发现的起点。牛顿在始用于1664年《草算本》（WasteBook）的“定理19”中，首次讨论了匀速圆周运动问题。牛顿在“定理20”中设计了一小球在圆筒内表面运动的理想实验，以期探求小球的意向力（conatus）与运动状态变化之间的关系。在“定理22”中，牛顿尝试性地确定两者之间的定量关系：仅考虑小球作半圆周运动，则小球绕半圆运动而力图脱离其运动中心的“全部力”（thewholeforce），大于能够产生或破坏其运动的力的两倍，即两倍于使小球运动的力。这样，牛顿在对小球作半圆周运动的分析中，已经考虑了运动

6、状态的选择，意识到确定物体运动方向的重要性，借用了他早期有关碰撞问题研究所形成的力学思想。尽管牛顿错误地把“全部力”视为连续时间间隔中的一种持续力，他在这里给出的结果也只是一种不等性关系，但牛顿首先明确了在作用意义上的力与运动量变化意义上的力之间，存在着一种数值关系。牛顿是在《草算本》的页码1（folio．1）中，通过引入一种全新的处理圆周运动的方法一—“多边形方法”，来改进上述的不等性关系。牛顿假定，物体沿一圆内接正方形运动，物体在正方形的每一个角受到圆一外接正方形的反射或反弹；则有：＝物体在四个角所受反射力总和正方形边长和使物体运动的力圆周的半径牛顿进而将上述结论

7、推广到物体沿任意边数内按正多边形的情形，“5则全部反射力与使物体运动的力之比，如同全部边长（即圆周）与半径之比”。这就解释了牛顿为什么在《草算本》中，多处划掉4＋而替之用6＋（周长与半径之比为2π）。这里的“全部反射力”是指，物体在圆周上运动一周所受到的反射力总和，它是前面提到的“全部力”的两倍。由此，牛顿明确了“全部力”概念的物理涵义。牛顿虽然顺利地建立了精确的数值关系，但这一结论却不能导出实际的物理应用。首先，尽管牛顿考虑了反射力的总和，但并未明确提出它和物体离心倾向（以及强度）之间存在相关性，更不用说等同性了；其外，在无限边数内接正多边形的情形