探讨无固定悬挂点单摆的周期

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1、2009年第4期物理通报物理问题研究探讨无固定悬挂点单摆的周期韩娟郑修林李春梅(重庆师范大学物理与信息技术学院重庆400047)简谐振动在高中物理竞赛中既是重点又是难分析受力,从图1可知小球所受回复力为点.单摆的自由微振动是简谐振动,无固定悬挂点单f=mgsinO+maMcosO(1)摆其纵振动也是谐振动(下面讨论过程即作出证我们只需求出a的值即可求得回复力的值.明),但求解其周期对中学生而言难度很大.本文运而选圆环为研究对象以地面为参考系,可得用多种方法对其进行探讨,并比较了各种解法,对中TsinO=MaM(2)学物理竞赛辅导有一定的启示.小球所受向心力为1无固

2、定悬挂点单摆模型m孚:+n一c础(3)由动能定理可知如图1,光滑的水平杆上,有一小圆环O,质量为,圆环上悬挂一单摆,单摆的摆长为f,小球的{my一0=mgl(cos0一cosOo)(4)质量为m,摆线长远大于小球及圆环的线度.初始时由式(3)、(4)可得单摆与竖直方向成0(0<5o)角度,求单摆运动的周T=mgcosO—maMsinO+2mgl(cos0一cosOo)(5)期.因为0角为微小角,则cosO、cosO。按无穷级数展开都近似等于1,$1](cosO—cos00)等于零,于是(5)式D变为T=mgcos0一ma~tsinO(6)把式(6)代入式(2)可得

3、aM==(7)其中cosO:1sin20:0把式(7)代入式(1)可得mgsinOcosO,=mgsinm=msin2+2小球相对于圆环的周期sin+一mZgsinO=mgsin0(1+m)2.1根据T=27c√m求解0为微小量,故0sinO由于单摆运动的公式=2丌V/上是根据弹簧所以振子运动规律=2√詈(即物体所受回复力中=m~O(1+m)=(·)=的系数)推演出来的,因此我们只要求出物体所受(·)戈=回复力,进而求出公式中的k,代人公式:27c、V/·便可以把物体运动的周期求出.选小球为研究对象,以圆环为原点建立参考系,——,’——2009年第4期物理通报物理

4、问题研究摆的振动方程m=一mgsin0+maMcosO即2‘z:一gsin+。s(8)2.2根据一=Aw求解由振动公式=Asin(oJr+)可得,速度的表因为圆环在水平杆上做的是简谐运动,且在图中所示的方向上,其运动方程可写为.达式为:一Awsin(o)t+),则我们可知物体取得MAsinwt的最大速度值为一=Aw(A为物体振动的振幅),所以又因T:,所以可得云,√~aM一Aco2sin~tT:—27rA—把的值代人式(8)可得若0为细线与竖直方向的最大夹角,以圆环为z=_gs+2sinwtcos参考系,取小球为研究对象,由动能定理可得d20即=一+2sin—1T

5、T/L,Vm。=mgl’(L1一cos0U).解微分方程可得0的通解,进而可得∞的值,也就算即出单摆振动的周期为::~/sineO:臼一√詈·其中0为极小量,故3小球相对于地面的周期0sin0由动量守恒my+my=0,得3.1根据:2丌√詈求解M一M~m由于圆环与小球在水平方向所受合外力为零,又由绝对=l,相对+1,牵连可得,小球相对于圆环的速因此两者组成的系统的质心坐标在水平方向保持不度为变,如图2位置所示.Vmax=‰一UM=镥+而小球相对于圆环的振幅则为A=A+4=}·lO+·=lO把、A~/k.T=可得图2砑一由质心定理可得2.3建立微分方程求解MXM,础

6、m小球有微振动时,圆环由于受到细绳的拉力也即Ml1=ml2在水平杆上做往复运动,我们取图1所示位置进行又因为ll+12l分析,此时圆环受到的合外力F=Tsin0=Ma肘.取所以小球为研究对象且以圆环为参考系,此时的参考系ml,Ml£1M+m2M+m是一个非惯性系,列方程时则要考虑惯性力.若我们所以小球相对于地面的回复力为求出了参考系的惯性加速度即a,我们就可列出单一3一2009年第4期物理通报物理问题研究和惯性力的合力.若取图1所示的惯性力的方向,则Fm=si=回复力则应是F=m√+口Msin0,可得单摆的振把2:=代入上式可得动方程m孔i:一mg‘+口MsinO

7、Fm=mg—一=T丁m=m+m与方法一同理,只要求出a,(=AsinoJt,所以aM=一Awsinwt),则可求解出此微分方程,得出0的通解,进而求得∞及单摆振动的周期为=·孚故小球相对于地面的运动周期为一√·球=2√:2//±mg4圆环相对于地面的周期.f、}tM‘4.1根据=2兀√詈求解同理用=2m求解小球周期的方法,圆环3.2根据Ymax=求解若0为细线与竖直方向的最大夹角,以地面为所受回复力为FM=Ma肘,且利用已求出的结论参照系,取小球为研究对象,由动能定理可得。=,可得^f+去删:mgl(1一cosO)(9)::=由动量守恒有,删m戕+MVM=0(1O

8、)咏=mg

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1、2009年第4期物理通报物理问题研究探讨无固定悬挂点单摆的周期韩娟郑修林李春梅(重庆师范大学物理与信息技术学院重庆400047)简谐振动在高中物理竞赛中既是重点又是难分析受力,从图1可知小球所受回复力为点.单摆的自由微振动是简谐振动,无固定悬挂点单f=mgsinO+maMcosO(1)摆其纵振动也是谐振动(下面讨论过程即作出证我们只需求出a的值即可求得回复力的值.明),但求解其周期对中学生而言难度很大.本文运而选圆环为研究对象以地面为参考系,可得用多种方法对其进行探讨,并比较了各种解法,对中TsinO=MaM(2)学物理竞赛辅导有一定的启示.小球所受向心力为1无固

2、定悬挂点单摆模型m孚:+n一c础(3)由动能定理可知如图1,光滑的水平杆上,有一小圆环O,质量为,圆环上悬挂一单摆,单摆的摆长为f,小球的{my一0=mgl(cos0一cosOo)(4)质量为m,摆线长远大于小球及圆环的线度.初始时由式(3)、(4)可得单摆与竖直方向成0(0<5o)角度,求单摆运动的周T=mgcosO—maMsinO+2mgl(cos0一cosOo)(5)期.因为0角为微小角,则cosO、cosO。按无穷级数展开都近似等于1,$1](cosO—cos00)等于零,于是(5)式D变为T=mgcos0一ma~tsinO(6)把式(6)代入式(2)可得

3、aM==(7)其中cosO:1sin20:0把式(7)代入式(1)可得mgsinOcosO,=mgsinm=msin2+2小球相对于圆环的周期sin+一mZgsinO=mgsin0(1+m)2.1根据T=27c√m求解0为微小量,故0sinO由于单摆运动的公式=2丌V/上是根据弹簧所以振子运动规律=2√詈(即物体所受回复力中=m~O(1+m)=(·)=的系数)推演出来的,因此我们只要求出物体所受(·)戈=回复力,进而求出公式中的k,代人公式:27c、V/·便可以把物体运动的周期求出.选小球为研究对象,以圆环为原点建立参考系,——,’——2009年第4期物理通报物理

4、问题研究摆的振动方程m=一mgsin0+maMcosO即2‘z:一gsin+。s(8)2.2根据一=Aw求解由振动公式=Asin(oJr+)可得,速度的表因为圆环在水平杆上做的是简谐运动,且在图中所示的方向上,其运动方程可写为.达式为:一Awsin(o)t+),则我们可知物体取得MAsinwt的最大速度值为一=Aw(A为物体振动的振幅),所以又因T:,所以可得云,√~aM一Aco2sin~tT:—27rA—把的值代人式(8)可得若0为细线与竖直方向的最大夹角,以圆环为z=_gs+2sinwtcos参考系,取小球为研究对象,由动能定理可得d20即=一+2sin—1T

5、T/L,Vm。=mgl’(L1一cos0U).解微分方程可得0的通解,进而可得∞的值,也就算即出单摆振动的周期为::~/sineO:臼一√詈·其中0为极小量,故3小球相对于地面的周期0sin0由动量守恒my+my=0,得3.1根据:2丌√詈求解M一M~m由于圆环与小球在水平方向所受合外力为零,又由绝对=l,相对+1,牵连可得,小球相对于圆环的速因此两者组成的系统的质心坐标在水平方向保持不度为变,如图2位置所示.Vmax=‰一UM=镥+而小球相对于圆环的振幅则为A=A+4=}·lO+·=lO把、A~/k.T=可得图2砑一由质心定理可得2.3建立微分方程求解MXM,础

6、m小球有微振动时,圆环由于受到细绳的拉力也即Ml1=ml2在水平杆上做往复运动,我们取图1所示位置进行又因为ll+12l分析,此时圆环受到的合外力F=Tsin0=Ma肘.取所以小球为研究对象且以圆环为参考系,此时的参考系ml,Ml£1M+m2M+m是一个非惯性系,列方程时则要考虑惯性力.若我们所以小球相对于地面的回复力为求出了参考系的惯性加速度即a,我们就可列出单一3一2009年第4期物理通报物理问题研究和惯性力的合力.若取图1所示的惯性力的方向,则Fm=si=回复力则应是F=m√+口Msin0,可得单摆的振把2:=代入上式可得动方程m孔i:一mg‘+口MsinO

7、Fm=mg—一=T丁m=m+m与方法一同理,只要求出a,(=AsinoJt,所以aM=一Awsinwt),则可求解出此微分方程,得出0的通解,进而求得∞及单摆振动的周期为=·孚故小球相对于地面的运动周期为一√·球=2√:2//±mg4圆环相对于地面的周期.f、}tM‘4.1根据=2兀√詈求解同理用=2m求解小球周期的方法,圆环3.2根据Ymax=求解若0为细线与竖直方向的最大夹角,以地面为所受回复力为FM=Ma肘,且利用已求出的结论参照系,取小球为研究对象,由动能定理可得。=,可得^f+去删:mgl(1一cosO)(9)::=由动量守恒有,删m戕+MVM=0(1O

8、)咏=mg

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