06）探究化归与转化思想在高中数学中的应用(何婷婷)

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1、探究化归与转化思想在高中数学中的应用湖北省宜城市第二高级中学何婷婷[摘要]化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。关键词数学化归思想转化思想在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的

2、问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有

3、效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。在中学数学中，常见的化归基本形式有：1、数与数之

4、间的转化。例如计算某个算式得出数值；化简某个解析式得出结果；变形所给出的方程求解；变形所给的不等式求出解集以及函数、方程、不等式之间的互相转化等等。　　　　　　　　　　　2、形与形之间的转化。比如：利用图象变换的知识作出函数图象；利用分割、补形、折叠、展开，作辅助线，辅助面处理空间图形或平面图形，等等。包括把立体问题化归为平面问题。例2.如图，正三棱锥P-ABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，D是侧棱PB上任一点，求△ADE的最小周长。3、数与形之间的转化。数与形之间的转化主要是依据函数与其图象的关系；复数及其运算的几何意义；以及解析几何中曲线与方程的概念等等进行转化。[分

5、析]：这是含有四个无理式的不等式证明题，难以入手，可应用化归方法。注意到左边的四个无理式的结构与勾股定理相类似，由此想到，设法化归为几何问题。这容易得到化归一：构造如图3的正方形，可以说不等式关系不证自明。由此化归的思路，进一步考虑到两点间的距离这一关键，又可得到化归二：从第二种化归得到的解法，我们同时得出原问题的条件：04、实际问题与数学模型之间的转化。数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似的反映，但对解决实际问题而言，数学模型却是深刻，正确、完善地反映着现

6、实。因此，把所考察的实际问题，化归为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决，充分地体现了“用数学”的意识和能力。比如以上所举的哥尼斯堡的七桥问题。化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。在中学数学中，应用化归思想方法解题应注意三个点：一.注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、

7、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，始终必须紧